自然数幂和 拉格朗日插值法和第二类斯特林数法

本文主要是介绍自然数幂和 拉格朗日插值法和第二类斯特林数法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

写在这里，目的是在以后需要看的时候不用再去网上抄（划掉）
$$求s(n)=\sum _{i=1}^n{i}^k$$

拉格朗日插值法

给定若干个点值，(x0,y0)，(x1,y1)，(xn,yn)，它们的差值多项式
$$L(x)=\sum _{i=0}^{n}yi\ast \prod _{j̸=i}\frac{x-xj}{xi-xj}$$
听说自然数幂和可以表示为k+1次多项式函数。
求自然数幂和的时候，就直接取点值为(0,s(0))，(1,s(1))，(k+1,s(k+1))
于是
$$L(n)=\sum _{i=0}^{k+1}s(i)\ast \prod _{j̸=i}\frac{n-j}{i-j}$$
$$L(n)=\sum _{i=0}^{k+1}s(i)\ast (-1{)}^{k+1-i}\frac{n(n-1)...(n-i+1)(n-i-1)...(n-k-1)}{i!(k+1-i)!}$$
预处理k以内的自然数幂和，求个逆元就好了。
复杂度$O(k)$

第二类斯特林数法

但是如果不能求逆元
有第二类斯特林数$\left\{{}_n^k\right\}$为将k个无区别的球放入n个有区别的非空盒子的方案数
所以$k^2$转移显然：
$$\left\{{}_n^k\right\}=\left\{{}_{n-1}^{k-1}\right\}+n\left\{{}_n^{k-1}\right\}$$
已知$$n^k=\sum _{i=0}^k\left\{{}_i^k\right\}\ast n^{\underline{i}}$$
可以用组合意义理解：
左边是k个无区别的球随意放入n个有区别盒子，右边为枚举放入了几个盒子，用斯特林数算出放球的方案，下降幂为选盒子。
那么
$$\sum _{i=1}^n{i}^k=\sum _{j=1}^n\sum _{i=0}^k\left\{{}_i^k\right\}\ast j^{\underline{i}}$$
$$=\sum _{i=0}^k\left\{{}_i^k\right\}\sum _{j=1}^n{j}^{\underline{i}}$$
$$=\sum _{i=0}^k\left\{{}_i^k\right\}i!\sum _{j=1}^n{C}_j^i$$
$$=\sum _{i=0}^k\left\{{}_i^k\right\}i!C_{n+1}^{i+1}$$
这样的话就不用逆元了，复杂度是$O(k^2)$

这篇关于自然数幂和 拉格朗日插值法和第二类斯特林数法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---