本文主要是介绍代码随想录算法训练营三刷day44 | 动态规划之 完全背包 518. 零钱兑换 II 377. 组合总和 Ⅳ,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
三刷day44
- 完全背包基础知识
- 问题描述
- 举个栗子
- 518. 零钱兑换 II
- 1.确定dp数组以及下标的含义
- 2.确定递推公式
- 3.dp数组如何初始化
- 4.确定遍历顺序
- 5.举例推导dp数组
- 377. 组合总和 Ⅳ
- 1.确定dp数组以及下标的含义
- 2.确定递推公式
- 3.dp数组如何初始化
- 4.确定遍历顺序
- 5.举例来推导dp数组
完全背包基础知识
问题描述
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]
,得到的价值是value[i]
。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件。
举个栗子
背包最大重量为4。
重量 | 价值 | |
---|---|---|
物品0 | 1 | 15 |
物品1 | 3 | 20 |
物品2 | 4 | 30 |
完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历
// 先遍历物品,在遍历背包
void test_CompletePack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {test_CompletePack();
}
518. 零钱兑换 II
题目链接
解题思路: 纯完全背包是凑成背包最大价值是多少,而本题是要求凑成总金额的物品组合个数!是一个组合问题。组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序。
动规五步曲:
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]
:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j]
就是所有的dp[j - coins[i]]
(考虑coins[i]
的情况)相加。
所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]]
;
这个递推公式01背包题目的时候在这篇494. 目标和
(opens new window)中出现过,求装满背包有几种方法,公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]]
;
3.dp数组如何初始化
首先dp[0]
一定要为1,dp[0] = 1
是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0
的话,后面所有推导出来的值都是0了。
dp[0]=1
还说明了一种情况:如果正好选了coins[i]
后,也就是j-coins[i] == 0
的情况表示这个硬币刚好能选,此时dp[0]为1
表示只选coins[i]
存在这样的一种选法。
4.确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢?在上面的讲解中完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
但本题就不行了!
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!
而本题要求凑成总和的组合数,元素之间明确要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。
那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。
代码如下:
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}
假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5
。
那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}
这种情况。而不会出现{5, 1}
的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!
如果把两个for交换顺序,代码如下:
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}
背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5}
和 {5, 1}
两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数!
5.举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
,dp状态图如下:
最后红色框dp[amount]
为最终结果。
C++代码如下:
class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
};
377. 组合总和 Ⅳ
题目链接
解题思路:本题题目描述说是求组合,但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合,其实就是求排列。
动规五部曲分析如下:
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]
: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2.确定递推公式
dp[i]
(考虑nums[j]
)可以由 dp[i - nums[j]]
(不考虑nums[j]
) 推导出来。
因为只要得到nums[j]
,排列个数dp[i - nums[j]]
,就是dp[i]
的一部分。
求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]]
;
本题也一样。
3.dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]
的缘故,dp[0]
要初始化为1,这样递归其他dp[i]
的时候才会有数值基础。
至于dp[0] = 1
有没有意义呢?
其实没有意义,所以我也不去强行解释它的意义了,因为题目中也说了:给定目标值是正整数! 所以dp[0] = 1是没有意义的,仅仅是为了推导递推公式。
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢?
初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]
。
4.确定遍历顺序
个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums
(物品)放在外循环,遍历target
的作为内循环的话,
举个栗子:
计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3}
这样的集合,不会有{3,1}
这样的集合,因为nums
遍历放在外层,3只能出现在1后面!
所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target
(背包)放在外循环,将nums
(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历。
5.举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下:
输入:nums =[1,2,3] , target = 4
C++代码如下:
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};
这篇关于代码随想录算法训练营三刷day44 | 动态规划之 完全背包 518. 零钱兑换 II 377. 组合总和 Ⅳ的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!