代码随想录算法训练营第三十八天| 动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

斐波那契数（通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n，请计算 F(n)。

示例 1：

• 输入：n = 2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入：n = 3
• 输出：2
• 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

• 输入：n = 4
• 输出：3
• 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

题目比较简单，主要用来加深动归解题方法理解
动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义，dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2. 确定递推公式:dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3. dp数组如何初始化dp[0] = 0;dp[1] = 1;
4. 确定遍历顺序：dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，所以是从前到后遍历
5. 举例推导dp数组：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码如下

class Solution {
public:int fib(int n) {if (n <= 1) return n;int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

• 输入：n = 2
• 输出：2
• 解释：有两种方法可以爬到楼顶。
  • 1. 1 阶 + 1 阶
  • 2. 2 阶

示例 2：

• 输入：n = 3
• 输出：3
• 解释：有三种方法可以爬到楼顶。
  • 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  • 2. 1 阶 + 2 阶
  • 3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了
动规五部曲：

1. dp数组以及下标的含义：dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2. 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
3. dp数组初始化：dp[1] = 1，dp[2] = 2
4. 遍历顺序：从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序是从前向后遍历
5. 举例推导dp数组：1 2 3 5 8 （i = 1 2 3 4 5）

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if(n <= 1) return n;int dp[2];dp[0] = 1;dp[1] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

给你一个整数数组 cost，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

• 输入：cost = [10,15,20]
• 输出：15
• 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
  • 支付 15，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
    总花费为 15。

示例 2：

• 输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
• 输出：6
• 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
  • 支付 1，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
  • 支付 1，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
  • 支付 1，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
  • 支付 1，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
  • 支付 1，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
  • 支付 1，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
    总花费为 6。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

动规五部曲：

1. dp数组以及下标的含义：dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
2. 递推公式：
   可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
   dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
   dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
3. dp数组初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0;
4. 遍历顺序：从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序是从前向后遍历
5. 举例推导dp数组：

代码如下

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {vector<int> dp(cost.size() + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[cost.size()];}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

因为dp[i]就是由前两位推出来的，所以只维护dp[0]和dp[1]空间复杂度也可为O(1)