算法训练 | 动态规划Part5 | 518.零钱兑换 II、377.组合总和 Ⅳ 、70.爬楼梯 （进阶）

2024-06-19 18:20
文章标签 算法 动态 规划 进阶 组合 训练 ii 总和 377 70 爬楼梯 兑换 零钱 518 part5

本文主要是介绍算法训练 | 动态规划Part5 | 518.零钱兑换 II、377.组合总和 Ⅳ 、70.爬楼梯 （进阶），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

518. 零钱兑换 II

动态规划法

377. 组合总和 Ⅳ

动态规划法

70. 爬楼梯 （进阶）

动态规划法

518. 零钱兑换 II

  • 题目链接：518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

  • 文章讲解：代码随想录

动态规划法

  • 完全背包：01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

  • 解题思路

      但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

  • 解题步骤

    • 确定dp数组以及下标的含义：dp[j]凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

    • dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

    • dp数组如何初始化：首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

    • 确定遍历顺序：本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）。这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数。如果把两个for交换顺序，此时dp[j]里算出来的就是排列数。

    • 举例推导dp数组：

  • 代码一：动态规划

// 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
// 空间复杂度: O(m)
class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
};

377. 组合总和 Ⅳ

  • 题目链接：377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

  • 文章讲解：代码随想录

动态规划法

  • 解题思路

    • 本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

  • 解题步骤

    • 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

    • 确定递推公式：dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

    • 个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

    • 举例来推导dp数组：

  • 代码一：动态规划

// 时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
// 空间复杂度: O(target)
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};

70. 爬楼梯 （进阶）

  • 题目链接：57. 爬楼梯(第八期模拟笔试)

  • 文章讲解：代码随想录

动态规划法

  • 解题思路

      一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

  • 解题步骤

    • 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

    • dp数组如何初始化：既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果。

    • 确定遍历顺序：这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

  • 代码一：动态规划

// 时间复杂度: O(n * m)
// 空间复杂度: O(n)
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;}
}

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