漫步数学分析三十六——泰勒定理

本文主要是介绍漫步数学分析三十六——泰勒定理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

我们讨论一般函数$f:A\subset R^n\to R^m$的泰勒公式，为此我们首先讨论高阶导数。对于$f:R^n\to R$，定义高阶偏导没有问题；我们仅仅迭代偏导的过程

$$\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial}{\partial x_2}f\right)$$

然而，将导数看做线性映射时需要非常小心。

如果二阶导存在的话，可以通过对$Df$求导获得，过程如下。

$\textbf{定义4}$ 令$L(R^n,R^m)$表示从$R^n$到$R^m$的线性映射空间，(如果我们在$R^n$，$R^m$中选择一个基，那么$L(R^n,R^m)$等同于$m\times n$矩阵)接下里$Df:A\to L(R^n,R^m)$；即对每个$x\in A$我们得到一个线性映射$Df(x_0)$。如果我们在$x_0$处对$Df$求导，我们就得到从$R^n$到$L(R^n,R^m)$的线性映射，写作$D(Df(x_0))=D^2f(x_0)$。我们将$B_{x_0}:R^n\times R^n\to R^m$定义成$B_{x_0}(x_1,x_2)=[D^2f(x_0)(x_1)](x_2)$

因为$D^2f(x_0):R^n\to L(R^n,R^m)$，上面的定义讲得通，所以$D^2f(x_0)(x_1)\in L(R^n,R^m)$；因此它能够用到$x_2$上。我们这么做的原因是$B_{x_0}$避免不必要的使用较难的空间$L(R^n,R^m)\approx R^{nm}$。

根据定义，双线性(bilinear)映射$B:E\times F\to G$，其中$E,F,G$ 是向量空间，就是每个变量都是线性的映射；例如对第一个变量，也就是说$B(\alpha e_1+\beta e_2,f)=\alpha B(e_1,f)+\beta B(e_2,f)$，其中$e_1,e_2\in E,f\in F,\alpha,\beta\in R$，上面定义的映射$B_{x_0}$很容易看成$R^n\times R^n\to R^m$的一个双线性映射。

接下来，对于双线性映射$B:E\times F\to R$，我们可以将每个$E$的基$e_1,\ldots,e_n$和$F$的$f_1,\ldots,f_m$与一个矩阵关联起来，即令

$$a_{ij}=B(e_i,f_j)$$

那么如果

$$x=\sum_{i=1}^nx_ie_i\quad y=\sum_{j=1}^my_jf_j$$

我们有

$$\begin{align*} B(x,y) &=\sum_{ij}a_{ij}x_iy_j\\ &=(x_1,x_2,\ldots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11}&&a_{1m}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ y_m \end{pmatrix} \end{align*}$$

注意：对于二阶导数，双线性映射$B_{x_0}$在$x_0$处对$Df$的求导依然写成$D^2(f)$。

$\textbf{定理8}$ 令$f:A\subset R^n\to R$在开集$A$上二阶可导，那么$D^2f(x):R^n\times R^n\to R$对于标准基的矩阵为

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \cdot&&\cdot\\ \frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix}$$

其中每个偏微分都是在点$x=(x_1,\ldots,x_n)$处进行计算。

对于高阶微分，使用相似的处理过程。例如$D^3f$对每个$x$ 给出一个三线性映射$D^3(f):R^n\times R^n\times R^n\to R^m$，我们没有将这个映射与矩阵联系起来，而是用三个标记的量来表示；对于每个元素$f_k$来说就是$\partial^3f_k(\partial x_l\partial x_j\partial x_i)$ (这样的量叫张量(tensor))。

在处理泰勒定义之前，我们首先给出二阶导数一个非常重要的性质：定理8中的矩阵是对称的，即

$$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$$

$\textbf{定理9}$ 令$f:A\to R$在开集$A$上二阶可导且$D^2f$连续(即函数$\partial^2f/(\partial x_i\partial_j)$是连续的)，那么$D^2f$是对称的；即

$$D^2f(x)(x_1,x_2)=D^2f(x)(x_2,x_1)$$

或者用元素的方式表示就是

$$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$$

从上面的定理可以看出，在相似的条件下，高阶微分也是对称的，对于$f:A\to R^m$来说，我们可以将上面的定理应用到$f$的元素上得出微分。

二阶微分的对称性是基本性质，但在单标量微积分中不存在这种情况，现在我们通过实例来验证这些原则。

假设$f(x,y,z)=e^{xy}\sin x+x^2y^4\cos^2z$，所以$f:R^3\to R$，那么

$$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &=e^{xy}\cos x+ye^{xy}\sin x+2xy^4\cos^2z\\ \frac{\partial f}{\partial y} &=xe^{xy}\sin x+4x^2y^3\cos^2z \end{align*}$$

并且

$$\frac{\partial f}{\partial y\partial x} =xe^{xy}\cos x+e^{xy}\sin x+xye^{xy}\sin x+8xy^3\cos^2z$$

这与$\partial^2f/\partial x\partial y$是一样的。

定理9直观上不太明显，然而可以从证明中得出一些直观信息。

$\textbf{定义5}$ 如果一个函数的前$r$阶导数存在且连续，那么我们称该函数是$C^r$类(class)。(等价的，这意味着到$r$阶之间的所有导数均存在且连续)如果函数对于所有正整数$r$都是$C^r$类，那么我们称该函数是光滑的(smooth)或是$C^\infty$类。

利用定理5(坐标形式是最简单的)中的公式，我们可以说明$C^r$的复合函数还是$C^r$。

泰勒定理如下所述：

$\textbf{定理10}$ 对开集$A\subset R^n$，令$f:A\to R$是$C^r$类，令$x,y\in A$并且假设连接$x,y$的线段位于$A$中，那么在这条线段上存在点$c$使得

$$\begin{align*} f(y)-f(x) &=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{1}{k!}D^kf(x)(y-x,\ldots,y-x)\\ &+\frac{1}{r!}D^r(c)(y-x,\ldots,y-x) \end{align*}$$

其中$D^kf(x)(y-x,\ldots,y-x)$表示$k$线性映射$D^kf(x)$作用到$k$ 元$(y-x,\ldots,y-x)$上，在坐标中

$$\begin{align*} &D^kf(x)(y-x,\ldots,y-x) &=\sum_{i_1,\ldots,i_k=1}^n\left(\frac{\partial^kf}{\partial x_{i_1}\cdots\partial_{x_{i_k}}}\right)(y_{i_1}-x_{x_i})\cdots(y_{i_k}-x_{i_k}) \end{align*}$$

令$y=x+h$，我们可以将泰勒公式重新写成

$$\begin{align*} f(x+h)=&f(x)+Df(x)\cdot h+\cdots\\ &+\frac{1}{(r-1)!}D^{r-1}f(x)\cdot(h,\ldots,h)+R_{r-1}(x,h) \end{align*}$$

其中$R_{r-1}(x,h)$是余项(remainder)，进一步

$$\text{当}h\to0\text{时}\quad\frac{R_{r-1}(x,h)}{\Vert h\Vert^{r-1}}\to0$$

余项还有其他的表示形式，我们会在证明中给出来，这个定理是均值定理($r=1$的情况)的推广，也是单元微积分中泰勒定理的推广。

根据泰勒定理，我们可以写出$x_0$的泰勒级数(Taylor series)

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}D^kf(x_0)(x-x_0,\ldots,x-x_0)$$

即便$f$是$C^\infty$，它也没必要收敛，如果它在$x_0$的邻域内收敛，那么我们说$f$在$x_0$处是可解析的。为了说明$f$是可解析的，我们需要展示在$r\to\infty$时，余项$(1/r!)D^rf(c)(x-x_0,\ldots,x-x_0)\to0$，那么它就能用来建立常见的幂级数表达式，像$\sin x,\cos x$等等。

$\textbf{例1：}$对函数$f(x,y)=yx^2(\cos y^2)$，验证定理9。

$\textbf{解：}$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy\cos y^2,\quad\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=2x\cos y^2-4xy^2\sin y^2$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos y^2-2y^2x^2\sin y^2,\quad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=2x\cos y^2-4y^2x\sin y^2$$

$\textbf{例2：}$如果$f$是$R$上的$C^\infty$且对于每个区间$[a,b]$，存在常数$M$使得对每个$n,x\in[a,b]$，不等式$|f^{n}(x)|\leq M$成立，说明$f$在每个$x_0$处可解析并且

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

$\textbf{解：}$余项是

$$\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\right|\leq\frac{M^n|x-x_0|^n}{n!}$$

当$n\to\infty$时余项$\to 0$，因为利用比率测试，对应的级数收敛。通过观察可知这个收敛在所有有界区间上是一致收敛的。

$\textbf{例3：}$给出一个是$C^\infty$函数但是不可解析。

$\textbf{解：}$令

$$f(x)= \begin{cases} 0,&x\leq 0\\ e^{-1/x},&x>0 \end{cases}$$

$f$平滑性唯一有问题的地方就是$x=0$处，但是对于$x>0$

$$f^\prime(x)=\frac{1}{x^2}e^{-1/x}$$

当$x\to0_{+}$时导数$\to0$(利用洛必达法则)，同样的我们可以看出$x\to0_{+}$时$f^{(n)}(x)\to 0$，从而利用均值定理我们可以看出$f$在0处是$C^\infty$且$f^{(n)}(0)=0$，因此$x=0$处的泰勒级数等于零，所以$f$不等于$x=0$处泰勒级数，故$f$不是可解析的。

$\textbf{例4：}$计算$f(x,y)=\sin(x+2y)$在$(0,0)$周围的二阶泰勒公式。

$\textbf{解：}$这里$f(0,0)=0$，

$$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) &=\cos(0+2\cdot 0)=1,\\ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) &=2\cos(0+2\cdot 0)=2,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) &=0,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0) &=0,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0) &=0 \end{align*}$$

从而

$$f(h,k)=h+2k+R_2(h,k),(0,0)$$

其中

$$\text{当}(h,k)\to(0,0)\text{时},R_2(h,k),(0,0)/|(h,k)|^2\to 0$$

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