四元数导数，四元数变化率运动学方程

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四元数乘法

这里首先需要介绍四元数乘法，假设有两个四元数$q_a,q_b$，如下所示：
$$\begin{array}{rl}{q}_a& =q_{a0}+q_{a1}i+q_{a2}j+q_{a3}k=[s_a,v_a{]}^T\\ q_b& =q_{b0}+q_{b1}i+q_{b2}j+q_{b3}k=[s_b,v_b{]}^T\end{array}$$
乘法运算为$\otimes$，则有
$$q_a\otimes q_b=[s_a{s}_b-v_a^T{v}_b,s_a{v}_b+s_b{v}_a+v_a\times v_b{]}^T$$

四元数变化率运动学方程

$$\stackrel{\bullet }{q}=\frac{1}{2}[0,\omega {]}^T\otimes q$$
假设$q=[s,v{]}^T$，即
$$\stackrel{\bullet }{q}=\frac{1}{2}[-{\omega }^T\cdot v,s\cdot \omega +\omega \times v{]}^T$$

证明

假设机器人在当前Body系下 $t$ 时刻的位姿四元数为 $q=[s,v{]}^T$，在接下来的 $\delta t$时间内，发生了 $\delta q$四元数表示的旋转，假设该旋转以 $n$ 为轴，旋转了 $\delta \theta$ 度，即 $\delta q=[cos\frac{\delta \theta }{2},n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}]$。则有
$$\begin{array}{rl}\stackrel{\bullet }{q}& =\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{\delta q\otimes q-q}{\delta t}\\ & =\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{[cos\frac{\delta \theta }{2},n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}]\otimes [s,v{]}^T-[s,v]}{\delta t}\\ & =\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{[s\cdot cos\frac{\delta \theta }{2}-{\left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)}^T\cdot v,cos\frac{\delta \theta }{2}\cdot v+s\cdot \left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)+\left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)\times v]-[s,v]}{\delta t}\\ & =\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{[s\left(\cdot cos\frac{\delta \theta }{2}-1\right)-{\left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)}^T\cdot v,\left(cos\frac{\delta \theta }{2}-1\right)\cdot v+s\cdot \left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)+\left(n\cdot sin\frac{\delta \theta }{2}\right)\times v]}{\delta t}\end{array}$$
将$cos,sin$泰勒展开，只保留一阶以下部分，即：
$$\begin{array}{rl}cos\frac{\delta \theta }{2}& \approx 1\\ sin\frac{\delta \theta }{2}& \approx \frac{\delta \theta }{2}\end{array}$$
代入上式，得：
$$\begin{array}{rl}\stackrel{\bullet }{q}& =\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{[-{\left(n\cdot \frac{\delta \theta }{2}\right)}^T\cdot v,s\cdot n\cdot \frac{\delta \theta }{2}+\left(n\cdot \frac{\delta \theta }{2}\right)\times v]}{\delta t}\\ & =\frac{1}{2}\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{[-{\left(n\cdot \delta \theta \right)}^T\cdot v,s\cdot n\cdot \delta \theta +\left(n\cdot \delta \theta \right)\times v]}{\delta t}\\ & =\frac{1}{2}[-{\left(\underset{\delta t\to 0}{\lim }n\cdot \frac{\delta \theta }{\delta t}\right)}^T\cdot v,s\cdot \left(\underset{\delta t\to 0}{\lim }n\cdot \frac{\delta \theta }{\delta t}\right)+\left(\underset{\delta t\to 0}{\lim }n\cdot \frac{\delta \theta }{\delta t}\right)\times v]\end{array}$$
已知
$$\underset{\delta t\to 0}{\lim }n\cdot \frac{\delta \theta }{\delta t}=\omega$$
原式变为：
$$\begin{array}{rl}\stackrel{\bullet }{q}& =\frac{1}{2}[-{\omega }^T\cdot v,s\cdot \omega +\omega \times v]\\ & =\frac{1}{2}[0,\omega {]}^T\otimes [s,v{]}^T\\ & =\frac{1}{2}[0,\omega {]}^T\otimes q\end{array}$$

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