对角矩阵，投影矩阵，三角矩阵的特征值性质

本文主要是介绍对角矩阵，投影矩阵，三角矩阵的特征值性质，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

一. 引入

二. 对角矩阵

2.1 对角矩阵的特征值与特征向量

2.2 小结

三. 投影矩阵

3.1 投影矩阵的特征值与特征向量

3.2 小结

四. 三角矩阵

4.1 三角矩阵的特征值与特征向量

4.2 小结

五. 矩阵的迹，行列式，特征值之间的关系

5.1 特征值与求解Ax=b

5.2 特征值的求和与求积

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一. 引入

对于如下的微分方程：

其解肯定类似指数形式，如下：

其中为特征值，决定函数增长还是衰减；x为特征向量，决定函数增长/衰减的速率。这种微分方程的解一般不只一个，对所有的解进行组合也是对的。最后再根据初始值条件确定常数的值，即为最终的答案。

矩阵特征值与特征向量满足：

Ax代表对向量x进行转变，如果这种转变不改变向量x的方向，则出现了特征向量。矩阵的对角化可以反应这种性质。

矩阵对角化的思路被广泛应用于微分方程，斐波纳契数（Fibonacci number），马尔科夫链，网络安全等领域。对角化的过程离不开计算特征值与特征向量。对于不能对角化的矩阵，我们将其称作缺陷矩阵（defective matrices）。

二. 对角矩阵

2.1 对角矩阵的特征值与特征向量

来看一个二阶的对角矩阵（diagonal matrix）：

很容易计算该矩阵拥有两个特征值和两个基本的特征向量，如下：

矩阵与特征向量相乘的结果与向量数乘的结果是一样的，也就是：

同理：

对于任意的其他向量，比如说：

可以将其表示成两个特征向量的组合，也就是：

如果将矩阵A与该向量相乘，根据特征值的性质，很容易得到：

很明显向量x不是该矩阵的特征向量。

2.2 小结

1. 对角矩阵的特征值是其对角线处元素的值；
2. 特征向量可以形成特征空间来表示其他向量；

三. 投影矩阵

3.1 投影矩阵的特征值与特征向量

举一个二阶的投影矩阵（projection matrix）例子，如下：

很容易计算出该矩阵的特征值与特征向量，如下：

向量x的投影可以是其本身，所以投影矩阵必有特征值1.

代表向量x往0向量上投影。

假定投影矩阵P的列空间（column space）为r，很明显其行空间也为r，零空间（nullspace）为n-r。

那么当特征值为1时，会重复r次，在这个例子中就是重复1次；

当特征值取0时，会重复n-r次，在这个例子中也是重复1次。

需要注意的是，特征值是可以重复的。比如我们来看一个简单的对角阵，如下：

该矩阵则有4个特征值，分别是1,1,0,0。同理可得，该矩阵的列空间为2，零空间为4-2=2.

可以看成平凡的特征值，如下：

也就是此时特征向量x位于A的零空间中。特征值为0的矩阵是奇异的，也就不可求逆，行列式为0.换句话说如果矩阵所有的特征值都非0的话，那么该矩阵则可以求逆。

3.2 小结

1. 投影矩阵的特征值只有1和0；
2. 投影矩阵特征值1出现的次数与列空间维度一样；
3. 投影矩阵特征值0出现的次数与零空间维度一样；
4. 特征值为0的矩阵=奇异矩阵=不可逆矩阵=行列式为0；
5. 可逆矩阵的特征值不会出现0

四. 三角矩阵

4.1 三角矩阵的特征值与特征向量

根据经验，三角矩阵（triangular）的特征值就是对角线上的元素。比如某三阶矩阵的特征行列式可计算为：

很明显发现此行列式就是对角线元素的乘积。当该行列式为0时，可得特征值为：

特征向量也与矩阵主对角的取值有关。

由此我们发现：

将矩阵转变为对角阵或者三角矩阵，不会改变其特征值

需要注意结论的运用。比如将矩阵A进行高斯分解（Gaussian factorization）：

A=LU

其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

很明显矩阵U的特征值就是其对角线的元素，但是和矩阵A的特征值大小是不一样的。

4.2 小结

三角矩阵的特征值即为对角线处的元素（不论上三角还是下三角矩阵）

五. 矩阵的迹，行列式，特征值之间的关系

5.1 特征值与求解Ax=b

从计算的角度来说，特征值问题比求解Ax=b要难一些。

对于求解Ax=b来讲，就是一个线性的系统，经过有限的基础行变换就可以在短时间内求出答案。或者直接借助Cramer法则也可以算出结果。

对于求解特征值，有一步到位的公式吗？

Galois和Abel探索了毕生都未能求出结果。举个例子，对于5行5列的矩阵来讲，其特征值多项式会出现特征值的五次方，也就是。对于5次的多项式，目前还没有代数上的统一求解公式。

5.2 特征值的求和与求积

矩阵特征值的求和就是对角线元素的和，又被称之为矩阵的迹（trace），如下：

矩阵特征值的积就是行列式的值。

在介绍投影矩阵时，我们举了一个例子P，该矩阵对角线的元素为1/2和1/2，其特征值为1和0，由此满足：

利用特征值的乘积也可以验证投影矩阵为奇异矩阵，行列式为0.反过来，矩阵行列式为0，说明至少存在一个特征值为0

需要注意的是，矩阵的特征值，矩阵对角线元素的值，矩阵的主元（pivot），这三者是完全不同的概念。只有在三角矩阵里面，这些是等效的。

来看一个二阶矩阵的例子：

该矩阵的迹为a+d，行列式为ad-bc

特征多项式可以计算如下：

对于该二阶矩阵来讲，特征值，矩阵的迹，行列式的完整关系如下：

很明显可以验证该二阶矩阵两个特征值的和即为矩阵的迹。由此可得：

这篇关于对角矩阵，投影矩阵，三角矩阵的特征值性质的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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