线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析

本文主要是介绍线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

  • 1.特征值和特征向量
    • 1.1 特征值和特征向量的定义
    • 1.2 特征值和特征向量的求法
    • 1.3 特征值特征向量的主要结论
  • 2.相似
    • 2.1 相似的定义
    • 2.2 相似的性质
    • 2.3 相似的结论
  • 3.相似对角化
  • 4.实对称矩阵
    • 4.1 实对称矩阵的基本性质
    • 4.2 施密特正交化
  • 5.重难点题型总结
    • 5.1 判断矩阵能否相似对角化
    • 5.2 已知两个矩阵相似,求某个矩阵中的未知参数
    • 5.3 相似时,求可逆矩阵P,使得P^-1^AP为对角矩阵
    • 5.4 求正交矩阵Q,使Q^T^AQ=Λ
    • 5.5 给出条件矩阵A方=A,我们能分析出什么?

1.特征值和特征向量

1.1 特征值和特征向量的定义

A为n阶,α是n维非0列向量
Aα=λα,α叫A对应λ的特征向量,叫λ特征值

1.2 特征值和特征向量的求法

⭐️三种求法:

  • 方法一:利用定义Aα=λα
  • 方法二:|λE-A|=0,利用行列式和基础解系
  • 方法三:利用相似,P-1AP=B

方法一:
定义法,定义法常常用于A是抽象形式的矩阵,求解其特征值和特征向量的问题。

方法二:
理论基础:
由定义 A α = λ α , α ≠ 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 , α ≠ 0 ⇒ α 是 ( λ E − A ) x = 0 的非 0 解 由定义A\alpha = \lambda \alpha ,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \left(\lambda E - A\right)\alpha = 0,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \alpha 是\left(\lambda E - A\right)x = 0的非0解 由定义Aα=λαα=0(λEA)α=0,α=0α(λEA)x=0的非0

为什么先用行列式计算特征值,特征向量不能是零向量,所以是非零解,齐次线性方程是非零解,所以行列式=0,所以用行列式计算特征值,再用基础解系计算特征向量。

一.常规计算步骤
特征值的计算步骤:
第一步,计算行列式|λE-A|,因为存在非零解,秩必然是不满的,行列式=0,求出特征值。

第二步,通过求出的特征向量,代入回(λE-A)α=0这个齐次线性方程中,计算出特征向量即齐次线性方程的解向量。

二.通过已积累的结论,直接得出特征值
(1)上下三角矩阵,对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
[ 1 2 4 0 3 5 0 0 6 ] , 特征值为 λ 1 = 1 , λ 2 = 3 , λ 3 = 6 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{matrix}\right],特征值为\lambda _{1} = 1,\lambda _{2} = 3,\lambda _{3} = 6 100230456 ,特征值为λ1=1λ2=3λ3=6

(2)秩1矩阵,特征值是它的迹,其余都是0
[ a a a a a a a a a ] 特征值为 λ 1 = 3 a , λ 2 = 0 , λ 3 = 0 \left[\begin{matrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \\ \end{matrix}\right]特征值为\lambda _{1} = 3a,\lambda _{2} = 0,\lambda _{3} = 0 aaaaaaaaa 特征值为λ1=3aλ2=0λ3=0
(3)通过已知矩阵A的特征值和特征向量,直接得到关于A矩阵其他基本变形的特征值和特征向量

在这里插入图片描述
f(A)多项式与A相似

1.3 特征值特征向量的主要结论

  1. 如a1a2是矩阵A关于特征值λ的特征向量,则k1a1+k2a2(非0时)仍是A关于λ的的特征向量。若a1a2是不同特征值的特征向量,则k1a1+k2a2不是A关于λ的的特征向量

∣ A ∣ = Π λ i , 其中 Π 是连乘 Σ λ i = Σ a i i = t r ( A ) , 矩阵的迹是特征值的和 \left|A\right| = \Pi \lambda _{i},其中\Pi 是连乘\\\Sigma \lambda _{i} = \Sigma a_{ii} = t_{r}\left(A\right),矩阵的迹是特征值的和 A=Πλi,其中Π是连乘Σλi=Σaii=tr(A),矩阵的迹是特征值的和

3.不同特征值的特征向量线性无关
4.λi是属于A的k重特征值,属于λi的k重特征向量最多不超过k个。

2.相似

2.1 相似的定义

相似的定义:
A矩阵相似于B,A~B,意味着存在可逆矩阵P使P-1AP=B

注意注意:A相似于B,这句话是有方向性的,规定是P-1AP=B,而B=PAP-1,A相似于B不能颠倒,没有P-1BP=A这种说法

2.2 相似的性质

A~B,则有以下结论
(1)|A|=|B|
(2)r(A)=r(B)
(3)|λE-A|=|λE-B|,即λAB
(4)迹相同,特征值都相同,迹肯定相同
(5)A,B的各阶主子式之和分别相等

关于性质(5)的说明,各阶主子式就是选行和选列的时候,行下标和列下标是一样的,下面给出列子,给出三阶矩阵,求二阶主子式,二阶主子式仅适合用于0多的题
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ,二阶主子式, [ 1 2 4 5 ] , [ 1 3 4 6 ] , [ 2 3 5 6 ] , [ 4 5 7 8 ] , [ 4 6 7 9 ] , [ 5 6 8 9 ] \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix}\right],二阶主子式,\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{matrix}\right] 147258369 ,二阶主子式,[1425][1436][2536][4758][4769][5869]

2.3 相似的结论

A与B相似的进一步推导结论
在这里插入图片描述
矩阵A与B相似

  • A-1相似于B-1
  • A*相似于B*
  • AT相似于BT
  • 关于分块矩阵
    若 A ~ C , B ~ D , 则 [ A O O B ] ~ [ C O O D ] 若A~C,B~D,则\left[\begin{matrix} A & O \\ O & B \\ \end{matrix}\right]~\left[\begin{matrix} C & O \\ O & D \\ \end{matrix}\right] ACBD,[AOOB][COOD]

3.相似对角化

A为n阶矩阵,存在n阶可逆矩阵P,若P-1AP=Λ,则称A可相似对角化,记做A~Λ,称对角矩阵是A的相似标准型。

关于相似对角化的结论总结:
在这里插入图片描述

注意充要条件和充分条件

4.实对称矩阵

4.1 实对称矩阵的基本性质

关于实对称矩阵,有更良好的性质,直接就满足可以相似对角化,并且还可以用正交矩阵相似对角化

实对称矩阵AT=A
1.实对称矩阵必与对角矩阵相似(可相似对角化)
2.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交
3.实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化
Q-1AQ=QTAQ=Λ

因为QQT=E,.Q-1=QT

4.2 施密特正交化

根据 实对称矩阵的基本性质,不同特征值的特征向量相互正交,所以我们应该使用施密特正交化将相同特征值下的特征向量正交化,最后特征向量都要单位化。

施密特正交化公式:
在这里插入图片描述

5.重难点题型总结

5.1 判断矩阵能否相似对角化

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.15
在这里插入图片描述

例题2:来源 李永乐线代辅导讲义 例5.18
在这里插入图片描述

5.2 已知两个矩阵相似,求某个矩阵中的未知参数

解题思路:常常利用两个矩阵相似的性质,若相似矩阵之间的迹相等,行列式相等,各阶主子式之和相等

5.3 相似时,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵

利用相似的传递性

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.20
在这里插入图片描述

5.4 求正交矩阵Q,使QTAQ=Λ

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.27
在这里插入图片描述

5.5 给出条件矩阵A方=A,我们能分析出什么?

有些题目中,给出矩阵A2=A的时候,我们可以得到两方面信息,一方面是关于秩,一方面是关于特征值。

关于秩:
A 2 = A ⇒ A 2 − A = 0 ⇒ A ( A − E ) = 0 ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≤ n A − ( A − E ) = E ⇒ r ( A ) + r ( B ) ≥ r ( A + B ) ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≥ r ( E ) = n 综上所述,结论如下: r ( A ) + r ( A − E ) = n A^{2} = A\Rightarrow A^{2} - A = 0\Rightarrow A\left(A - E\right) = 0\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \leq n\\A - \left(A - E\right) = E\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(B\right) \geq r\left(A + B\right)\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \geq r\left(E\right) = n\\综上所述,结论如下:r\left(A\right) + r\left(A - E\right) = n A2=AA2A=0A(AE)=0r(A)+r(AE)nA(AE)=Er(A)+r(B)r(A+B)r(A)+r(AE)r(E)=n综上所述,结论如下:r(A)+r(AE)=n

关于特征值:
在这里插入图片描述

这篇关于线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!


原文地址:
本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.chinasem.cn/article/1146090

相关文章

Java使用Curator进行ZooKeeper操作的详细教程

《Java使用Curator进行ZooKeeper操作的详细教程》ApacheCurator是一个基于ZooKeeper的Java客户端库,它极大地简化了使用ZooKeeper的开发工作,在分布式系统... 目录1、简述2、核心功能2.1 CuratorFramework2.2 Recipes3、示例实践3

Java的IO模型、Netty原理解析

《Java的IO模型、Netty原理解析》Java的I/O是以流的方式进行数据输入输出的,Java的类库涉及很多领域的IO内容:标准的输入输出,文件的操作、网络上的数据传输流、字符串流、对象流等,这篇... 目录1.什么是IO2.同步与异步、阻塞与非阻塞3.三种IO模型BIO(blocking I/O)NI

Python 中的异步与同步深度解析(实践记录)

《Python中的异步与同步深度解析(实践记录)》在Python编程世界里,异步和同步的概念是理解程序执行流程和性能优化的关键,这篇文章将带你深入了解它们的差异,以及阻塞和非阻塞的特性,同时通过实际... 目录python中的异步与同步:深度解析与实践异步与同步的定义异步同步阻塞与非阻塞的概念阻塞非阻塞同步

通过Docker Compose部署MySQL的详细教程

《通过DockerCompose部署MySQL的详细教程》DockerCompose作为Docker官方的容器编排工具,为MySQL数据库部署带来了显著优势,下面小编就来为大家详细介绍一... 目录一、docker Compose 部署 mysql 的优势二、环境准备与基础配置2.1 项目目录结构2.2 基

java常见报错及解决方案总结

《java常见报错及解决方案总结》:本文主要介绍Java编程中常见错误类型及示例,包括语法错误、空指针异常、数组下标越界、类型转换异常、文件未找到异常、除以零异常、非法线程操作异常、方法未定义异常... 目录1. 语法错误 (Syntax Errors)示例 1:解决方案:2. 空指针异常 (NullPoi

Redis中高并发读写性能的深度解析与优化

《Redis中高并发读写性能的深度解析与优化》Redis作为一款高性能的内存数据库,广泛应用于缓存、消息队列、实时统计等场景,本文将深入探讨Redis的读写并发能力,感兴趣的小伙伴可以了解下... 目录引言一、Redis 并发能力概述1.1 Redis 的读写性能1.2 影响 Redis 并发能力的因素二、

Spring MVC使用视图解析的问题解读

《SpringMVC使用视图解析的问题解读》:本文主要介绍SpringMVC使用视图解析的问题解读,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录Spring MVC使用视图解析1. 会使用视图解析的情况2. 不会使用视图解析的情况总结Spring MVC使用视图

Linux系统中配置静态IP地址的详细步骤

《Linux系统中配置静态IP地址的详细步骤》本文详细介绍了在Linux系统中配置静态IP地址的五个步骤,包括打开终端、编辑网络配置文件、配置IP地址、保存并重启网络服务,这对于系统管理员和新手都极具... 目录步骤一:打开终端步骤二:编辑网络配置文件步骤三:配置静态IP地址步骤四:保存并关闭文件步骤五:重

Centos环境下Tomcat虚拟主机配置详细教程

《Centos环境下Tomcat虚拟主机配置详细教程》这篇文章主要讲的是在CentOS系统上,如何一步步配置Tomcat的虚拟主机,内容很简单,从目录准备到配置文件修改,再到重启和测试,手把手带你搞定... 目录1. 准备虚拟主机的目录和内容创建目录添加测试文件2. 修改 Tomcat 的 server.X

利用Python和C++解析gltf文件的示例详解

《利用Python和C++解析gltf文件的示例详解》gltf,全称是GLTransmissionFormat,是一种开放的3D文件格式,Python和C++是两个非常强大的工具,下面我们就来看看如何... 目录什么是gltf文件选择语言的原因安装必要的库解析gltf文件的步骤1. 读取gltf文件2. 提