hdu 4565 推倒公式+矩阵快速幂

本文主要是介绍hdu 4565 推倒公式+矩阵快速幂，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题意

求下式的值：

$S_n = \lceil\ (a + \sqrt{b}) ^ n \rceil\% m$

其中：

$0< a, m < 2^{15}$
$0 < b, n < 2^{31}$
$(a-1)^2< b < a^2$

解析

令：

$A_n = (a + \sqrt{b}) ^ n$

$B_n = (a - \sqrt{b}) ^ n$

$C_n = A_n + B_n$

因为： $(a - 1)^2 < b < a^2$

所以： $0 < a - \sqrt{b} < 1$

所以： $0 < (a - \sqrt{b})^n < 1$

即： $B_n < 1$

也就是说， $C_n = \lceil\ A_n \rceil\$ ， $S_n = C_n % m$

因此，求 $C_n$ 就行了。

$C_n$ 两边同时乘以 $A_1 + B_1$ ：

$C_n*[(a + \sqrt{b}) + ( a - \sqrt{b})]$

$= [(a + \sqrt{b})^n + (a - \sqrt{b})^n] * [(a + \sqrt{b}) + ( a - \sqrt{b})]$

$= (a + \sqrt{b})^{n+1} + (a - \sqrt{b})^{n+1} + (a + \sqrt{b})^n * (a - \sqrt{b}) + (a - \sqrt{b})^n*(a + \sqrt{b})$

$=C_{n+1} + (a^2-b)*(a+\sqrt{b})^{n-1} + (a^2-b)*(a-\sqrt{b})^{n-1}$

$=C_{n+1} + (a^2-b)*C_{n-1}$

所以：

$C_{n + 1} = 2*a*C_n - (a^2-b)*C_{n - 1}$

写成矩阵形式：

$\begin{bmatrix}C_{n+1} \ C_n \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2*a & -(a^2-b)\\1 & 0 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}C_1 \\C_0 \\ \end{bmatrix}$

至此，公式推导完毕，用快速幂求解就行了。

代码

#pragma comment(linker, "/STACK:1677721600")
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define LL long long
#define lson lo,mi,rt<<1
#define rson mi+1,hi,rt<<1|1
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FIN freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOUT freopen("out.txt", "w", stdout)using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const double ee = exp(1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3 + 10;
const double pi = acos(-1.0);
const LL iinf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;int readT()
{char c;int ret = 0,flg = 0;while(c = getchar(), (c < '0' || c > '9') && c != '-');if(c == '-') flg = 1;else ret = c ^ 48;while( c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c ^ 48);return flg ? - ret : ret;
}int mod;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;mat mul(mat &A, mat &B)
{mat C(A.size(), vec(B[0].size()));for (int i = 0; i < A.size(); i++){for (int k = 0; k < B.size(); k++){for (int j = 0; j < B[0].size(); j++){C[i][j] = ((C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % mod  + mod)% mod;}}}return C;
}mat pow(mat A, LL n)
{mat B(A.size(), vec(A.size()));for (int i = 0; i < A.size(); i++){B[i][i] = 1;}while (0 < n){if (n & 1)B = mul(B, A);A = mul(A, A);n >>= 1;}return B;
}int main()
{
#ifdef LOCALFIN;
#endif // LOCALLL a, b, n;while (cin >> a >> b >> n >> mod){mat A(2, vec(2));A[0][0] = 2 * a;  A[0][1] = b - a * a;A[1][0] = 1;      A[1][1] = 0;A = pow(A, n - 1);LL ans = ((2 * a * A[0][0] + 2 * A[0][1]) % mod + mod )% mod;printf("%d\n", ans);}return 0;
}