插值余项 + 高次插值的Runge现象 | Lagrange拉格朗日插值（二）

本文主要是介绍插值余项 + 高次插值的Runge现象 | Lagrange拉格朗日插值（二），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 插值余项

用Lagrange插值公式计算除插值节点以外的某一插值点x处的值，其插值误差为：
$R_n(x)=f(x)-p_n(x)$
该误差实际上就是截断误差，称 $R_n(x)$ 为Lagrange插值的插值余项。

定理2：设 $x_0,x_1,\cdots,x_n$ 为区间 $[a, b]$ 内的n+1个插值节点，而函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 内有一阶至n+1阶导数，且已给定 $y_i=f(x_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$ ，则当 $x\in[a,b]$ 时，由Lagrange插值公式（8）计算的 $p_n(x)$ 与 $f (x)$ 的误差为：
$R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varphi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i) \tag{9}$
式中 $\varphi$ 是依赖x的，它包含在由插值节点 $x_0,x_1,\cdots,x_n$ 和x所界定的 $(a, b)$ 范围内。

插值余项公式（9）给出了用 $p_n(x)$ 来近似代替 $f (x)$ 的截断误差 $R_n(x)$ 。在实际应用中，对于制定的精度 $\epsilon$ ，要求插值的 $R_n(x)\leq \epsilon$ 。

根据（9）式计算插值余项，前提条件是必须已知函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 内的n+1阶导数。而实际情况却恰恰相反，根本不能确定函数 $f (x)$ 及其n+1阶导数，仅仅知道离散的插值节点和对应的函数值，即 $(x_i,y_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$ 。那么，可采用下面的方法保证插值的计算精度。

设 $L_n(x)$ 为 $f (x)$ 关于n个插值节点 $(x_0,x_1,\cdots,x_n)$ 的插值多项式，为了估计误差 $f(x)-L_n(x)$ ，另取一个插值节点 $x_{n+1}$ ，设 $\overline L_n(x)$ 为 $f (x)$ 关于n个插值节点 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})$ 的插值多项式。根据插值余项定理，有：
$f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)$

$f(x)-\overline L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!}\prod_{i=1}^{n+1}(x-x_i)$

故
$\frac{f(x)-L_n(x)}{f(x)-\overline L_n(x)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{f^{(n+1)}(\eta)}·\frac{x-x_0}{x-x_{n+1}}$
若 $f^{(n+1)}(x)$ 在插值区间上变化不大，则 $f^{(n+1)}(\xi)\approx f^{(n+1)}(\eta)$ ，有：
$f(x)-L_n(x)\approx \frac{x-x_0}{x_0-x_{n+1}}(L_n(x)-\overline L_n(x))$
只要 $L_n(x)-\overline L_n(x)$ 足够小，就能保证 $f(x)-L_n(x) < \epsilon$ 。这种利用相关两次的插值计算结果来估计误差大小的方法，称为事后误差估计方法。

2. 高次插值的Runge（龙格）现象

在区间 $[a, b]$ 上，运用Lagrange插值公式进行插值，插值节点数越多，插值多项式的次数越高，插值函数和被插值函数重合的点（在插值节点上）也越多，插值计算结果的精度是否也越高呢？

定义2：设有 $n + 1$ 个插值节点的插值多项式为 $p_n(x)$ ，如果对于任意的 $\epsilon>0$ ，存在正整数N，当 $n > N$ 时，对被插值的函数 $f (x)$ 及所有 $x\in [a,b]$ ，有
$f(x)-p_n(x)<\epsilon$
成立，则称 $p_n(x)$ 一致收敛于 $f (x)$ 。

考察 $[- 1, 1]$ 区间内等节距点的 $f (x)$ 的Lagrange插值。对于像 $sin\,x$ 和 $e^x$ 这样性态较好的函数，其所有导数有同样的常数界M，误差 $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$ 随着n的增加而趋向零，因此增加插值节点数有利于提高插值结果的精度。但在一般情况下，答案是否定的。例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ，当 $n\to \infty$ 时， $R_n(x)$ 是增加的。