由二阶常系数线性方程的通解反推方程

本文主要是介绍由二阶常系数线性方程的通解反推方程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

由二阶常系数线性方程的通解反推方程

@(微积分)

引例是这样的：

设$cosx$与$xe^x$为某n阶常系数线性齐次方程的两个解，则最小的n = ？，相应的首项系数为1的方程是？

分析：由cosx是一个解，则必有另一解sinx,$\pm i$是它的特征根；$xe^x$是一个解，则必有另一解$e^x$,则1必是二重特征根。所以，n至少为4.特征方程可以列举如下：

$$(r-i)(r+i)(r-1)^2 = 0 \\ \rightarrow r^4-2r^3+2r^2-2r+1 = 0 \\ \rightarrow y^{(4)}-2y^{(3)}+2y^{(2)}-2y' +y = 0$$

这样的思路看起来非常简单，但是如果不能正确把握齐次方程的解结构以及背后的原理，很难做出这样的推断。

因此，引例过后，是对问题的原理回顾。

即：二阶常系数线性微分方程的通解公式，以及相应的理解。

首先我们知道给定一个二阶常系数微分方程：

$y''+py'+qy = 0$

马上可以得到一个特征方程，然后求解特征方程的解。这个过程好像线性代数中的线性方程组时求解特征值。

• 两个不相等的实根：$r_1\neq r_2\rightarrow y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

• 两个相等的实根： r

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