漫步数学分析十九——介值定理

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介值定理说明对于某区间上的连续函数，给定两个值后，可以取得两个值中间的所有值，如图1，图2中的不连续函数$f$不会取值$1/2$。简单来说，该定理告诉我们不连续函数可以从一个值调到另一个值，而连续函数必须通过所有中间值。

图1

介值定理不成立的另一方方式是定义域$A$是不连通的，如图3所示。

因此关键的假设是$f$是连续函数并且$f$定义在连通区域上。我们随后会看到定理6的证明非常简单，因为我们已经形式化了连集的概念。

图2

$\textbf{定理6}$ 令$A\subset R^n,f:A\to R$是连续的，假设$K\subset A$是连集并且$x,y\in K$。对于每个数$c\in R$ 满足$f(x)\leq c\leq f(y)$，存在一个点$z\in K$使得$f(z)=c$。

因为区间(开或闭)是连集，所以介值定理就变成了定理6的特殊情况。然而，注意到定理6更加一般的情况。例如，将其应用到定义在整个$R^n$上(这是一个连集)的多变量实值函数$f(x_1,\ldots,x_n)$。

$\textbf{例1：}$利用$f(K)$是连集这个事实，证明定理6。

$\textbf{解：}$有定理2知道$f(K)$是连集，因此$f(K)$是一个区间，可能是无线的。但是如果$f(x),f(y)\in f(K)$，那么$[f(x),f(y)]\subset f(K)$，因为$f(K)$是一个区间。所以如果$c$与定理6中一样，那么$c\in [f(x),f(y)]$，所以$c\in f(K)$，所以存在$z$满足$c=f(z)$。这是证明定理6的一种方法，另外一种方法会在后面给出。

图3

$\textbf{例2：}$令$f(x)$是三次多项式，说明$f$有一个(实)根$x_0$(即，$f(x_0)=0$)。

$\textbf{解：}$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq 0$。 假设$a>0$，对于$x>0$，当$x$变大时，$ax^3$也在变大并且比其他项都大，所以如果$x>0$且$x$较大时，$f(x)>0$。同样地，如果$x$较大且为负，那么$f(x)<0$，因此应用介值定理可得存在点$x_0$使得$f(x_0)=0$。

$\textbf{例3：}$令$f:[1,2]\to [0,3]$是连续函数，且$f(1)=0,f(2)=3$。说明$f$有一个定点，即存在一个点$x_0\in[1,2]$使得$f(x_0)=x_0$。

$\textbf{解：}$令$g(x)=f(x)-x$，那么$g$是连续的，$g(1)=f(1)-1=-1,g(2)=f(2)-2=3-2=1$，因此利用介值定理，$g$肯定在某点$x_0\in[1,2]$处等于零，这个$x_0$就是$f(x)$的定点。

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