本文主要是介绍代码随想录算法训练营第三十八天| 理论基础、LeetCode 509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
一、理论基础
题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html
状态：已解决
1.动规定义
动规，简称DP，适用于存在很多重叠子问题的问题。与贪心区别主要是动规中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，而贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的；也就说贪心的局部最优到最后一定是全局最优，但是动规的局部最优却不一定是全局最优，它需要根据上一个状态来推导下一个状态。
例如，对于经典的背包问题：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。
2.解题步骤
动规的题很晦涩，但其实是有迹可循的。最重要的就是理清楚dp[i]的含义，推出递推公式。一般的动规题可根据以下五步进行：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
注意，一定是先确定了递推公式，再进行初始化的。因为一些情况是递推公式决定了dp数组如何初始化的。
二、509. 斐波那契数
题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0509.%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0.html
状态：已解决
1.思路
递推、递归、动规三者其实很接近。递推一般指的是递推公式，而递归和动规都是实现递推公式的一种办法。之前的递归章节的问题就是根据递推公式进行的函数递归，而动规的转移方程也大多为递推公式。此题已说明了递推公式，那么这题一大半就已经能解决了。
根据动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义：
由于题目要求求第n个数的斐波那契数值，那么我们只需用一个一维数组来保存数值即可，即dp。dp[i]定义为第i个数的斐波那契数值。
（2）确定递推公式：
题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
（3）初始化dp数组：
题目也已经给了我们初始化的提示了：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;（4）确定遍历顺序：
根据递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]中可以看出，我们可以知道dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，因此遍历的顺序一定是从前到后遍历的
（5）举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
然后再代码打印一下，看结果是否与推导结果一致。
2.代码实现
class Solution {
public:int fib(int n) {vector<int> dp(n+1);if(n == 0) return 0;if(n == 1) return 1;dp[0]=0,dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}
};时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
三、70. 爬楼梯
题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF.html
状态：已解决
1.思路
做动规一般是需要一个大致方向才能去套模板的，这题一开始拿着可能有点懵，但是多计算几个层数，就会发现爬楼梯的方法其实是有迹可循的，例如，题目初始只给了两种爬楼梯：一种是一次爬一阶，一种是一次爬两阶，也就是说，当我们处于第i层台阶时，我们要么是从第i-2层上来的，要么是从第i-1层上来的。想清楚这点，那么，这道题的大致思路就明白了。
（1）确定dp数组及下标含义：
只需要一个一维数组来记录到每个楼层的方法数，dp[i]未爬到第i层楼梯的方法数。
（2）确定递推公式：
如开始的分析，我们知道当我们处于第i层台阶时，我们要么是从第i-2层上来的，要么是从第i-1层上来的。因此，dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1]；
（3）dp数组初始化：
n从1开始，由于一次可以爬一阶或者二阶，那么就应该初始化dp[1]和dp[2]
dp[1]=1;
dp[2]=2;（4）确定遍历顺序：
由递推公式我们可以知道此题只能从前往后推。
（5） 举例推导dp数组
当n为5的时候，dp数组：
然后再打印代码运行结果，与推导结果进行对比。
2.代码实现
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n+1);dp[1]=1,dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
};四、746. 使用最小花费爬楼梯
题目链接/文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0746.%E4%BD%BF%E7%94%A8%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%8A%B1%E8%B4%B9%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF.html
状态：已解决
1.思路
这题个人觉得跟上题差不多，只是由于要求最小花费，需要加个求最小操作。
（1）确定dp数组以及下标含义：
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
（2）确定递推公式：
跟上题一样，可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
- dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
- dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
由于是选最小的，因此求个最小就行了，即dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
（3）dp数组初始化：
根据题意“你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说到达第 0 个台阶是不花费的，但从第0个台阶 往上跳的话，需要花费cost[0]。故所以初始化为：
dp[0]=0;
dp[1]=0;（4）确定遍历顺序：
因为是从下往上确定台阶花费的，即dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
（5）举例推导dp数组：
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
接下来打印代码得到的dp数组，看与推导是否一致。
2.代码实现
class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {vector<int> dp(cost.size()+1);dp[0]=0;dp[1]=0;for(int i=2;i<dp.size();i++){dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[dp.size()-1];}
};这篇关于代码随想录算法训练营第三十八天| 理论基础、LeetCode 509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
