14.图像透视——距离的测验，齐次坐标（Homogeneous Coordinate），透视投影（Perspective Projection），投影实战

本文主要是介绍14.图像透视——距离的测验，齐次坐标（Homogeneous Coordinate），透视投影（Perspective Projection），投影实战_2，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

距离的测验

齐次坐标（Homogeneous Coordinate）

透视投影（Perspective Projection）

投影实战

学前概念

透视投影法(perspective projection method)一种投影法。所谓透视，即穿过透明体观察物体。在人与物体之间，设立一个透明的平面，称作画面(即投影面)，人眼的位置称视点(即投影中心COP)，由视点至物体上各个点连线，称视线(即投影线)，各视线与画面(即投影面)的交点，即为物体上各点的透视投影，连结各点的投影，即得物体的透视。

距离的测验

是时候来个小测验了。当物体非常非常远的时候，真正的X，也就是离中心有多远，可能很大，因为真正的Z，可能是英里。如果我移动相机，移动原点，这些数字几乎不变。世界上真正的 x 布局的位置，世界上关于这一点的真实布局，距离它还有几英里远。如果我移动几英寸，实际上没有什么变化。这就解释了下面哪一个?

a.为什么月亮跟着你? 我希望月亮真的跟着你，也跟着我，也许我很特别；

b.为什么北极星总是偏北；

c.为什么无论你在哪里，你都能从太阳上知道时间。

d.所有这些。

答案显然是d，原因是，基本上当我移动相机的时候，因为本质上是X，大写X，大写Z不变，all right? 在图像上，月球的点落在我的图像平面上，它也不会改变。当然，如果我转身，它就会改变，当然，我们只是在讨论转身。现在，很快我就会从视频中转出去，梅根会不开心，因为我要回到这里继续录制视频。但如果你一直在开车，你看到了月亮，就像在跟踪你一样，okay? 这是因为 X 和 Z，如果我这样走，Z就不会改变，但 X 变化的速度可能已经是数英里，okay? 但月亮在什么呢，就像200英里远？我不知道，它距离我们很远很远。

有人查一下，我想是25万英里（事实是38万英里），大概是这样。总之，比这里和罗斯威尔（外星人）之间的距离要短得多。所以，当我从这里到罗斯威尔，X几乎不变，Z也几乎不变，所以它出现在图像上的地方没有改变。基本上，这就是为什么非常遥远的事情不会随着我移动而移动。唯一重要的是角度，太阳或北极星或这些东西都是如此，这是因为这个透视投影（Perspective Projection）。

齐次坐标（Homogeneous Coordinate）

现在，我们来看看丑陋的东西。齐次坐标（Homogeneous Coordinate）。它不是丑陋的，它是美丽的，对于一些扭曲的美学概念来说。

这个运算是 x / z 和 y / z，这是一个线性变换吗? 答案是否定的。之前我们说过除法是一个线性运算，是的，除以某个常数，除以a, 1 / a，乘以1 / a，这些是线性运算，但是这里我取x ，y 和 z ，okay? 实际上我需要把 z 提出来然后把 x 和 y 除以它。如果有另一个点(x1, y1, z1)除以z，所以这不是一个线性运算。我必须彻底改变正在发生的事情。

我们要做一个技巧。关键是，我们要再加一个坐标，all right? 我们可以在二维或三维中做这个。在二维空间中，xy变成了xy1。在三维空间中，x,y,z变成了xyz1。下面这个坐标（如图），现在w写成1，之后我们会取w为其他的值，这是齐次版本，齐次坐标（Homogeneous Coordinate）。

有时它被称为比例因子（Scale Factor）但我认为这是不恰当，它应该被看作是齐次坐标，或者是向量的齐次分量。从常规坐标转换为齐次坐标并再次返回常规坐标是非常简单的，right?

如果我有齐次坐标（x，y，w），我得到的是非齐次（nonhomogeneous）坐标就是除以w，所以2维空间的x，y 和 3维空间的 x，y，z，每一个除以w（如图），现在你们明白了为什么把xy1变成非齐次的了，就像之前一样我，还是得到了x和y。但如果最后一个齐次坐标不是1的话，我就会得到一个不同的值。顺便说一下，这使得齐次坐标在尺度下不变性。如果我把整个齐次坐标乘以某个常数，比如说a，我有ax ay aw。当我再做一次换算除法时，a约掉了。

透视投影（Perspective Projection）

这样做的真正酷之处在于，现在我们可以采用透视投影（Perspective Projection），在齐次坐标系下进行线性矩阵运算，我们不用担心非齐次部分直到最后。所以看起来像这样，这里有一个3×4矩阵，你会注意到它是 1 1 1 / f，我把它乘以齐次三维坐标 xyz1，就得到了这个三行齐次坐标，这是二维齐次坐标（如图），okay?

我可以把它作为齐次坐标一直保持下去直到我需要在图像中使用它。当我把它用作图像时，我把上面的元素除以齐次元素，得到f (x / z)和f (y / z)。顺便提一下，有时也称为u，v（如图）。这些是通过焦距为 f 的投影，投影到的世界中某些点x，y，z的图像中的坐标。

所以我们的投影运算就是这种线性矩阵乘法，正如我们所知，我们都喜欢线性矩阵乘法，因为我们知道如何做很多。并颠倒它们和所有其他类型的东西。它确实是投影几何的基础，以及投影数学，我们将会在这门课的一部分中使用。顺便说一句，从现在开始，f 是焦距（focal length）。在我们谈论距离 D 之前，这里我们的焦距 f 是从投影中心到图像平面的距离，并且它不是我们上次谈论的光圈的 f 。我可能不应该提醒你，因为可能是几个月前你看过那个讲座。但是这里的 f 总是焦距，也就是从中心投影到像平面的距离。

那么缩放投影矩阵是如何改变变换的呢? 这里我做的是把投影矩阵乘以 f （如图1）。我可以通过别的东西来缩放它，但我会用 f 来缩放它。现在，不是沿着对角线1 1 1/f，而是乘以 f 然后得到f f 1（如图2），乘以三维齐次坐标向量它有四个维度（如图3），现在我得到fx, fy, z（如图4）。然后当我做除法的时候，我得到了什么，和之前一样的东西，okay? 所以它是不变（invariant）的。

1 2