一个定积分等式的证明

本文主要是介绍一个定积分等式的证明，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题

证明一个定积分恒等式：

$$I=\int_0^{+\infty}\frac{x^3}{e^x-1}{\rm{d}}x=\frac{\pi^4}{15}$$

证明

两种方法证明(实际是一种)。

1.利用$\Gamma$函数和黎曼$\zeta$函数关系等式

从维基百科上黎曼$\zeta$函数词条可以看到黎曼$\zeta$函数的这样两个等价定义：

$$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\tag{1}$$

$$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}{\rm{d}}x\tag{2}$$

从而定积分转化为一个收敛到指定值的无穷级数问题。

$$I=\Gamma(4)\cdot\zeta(4)=6\zeta(4)\tag{3}$$

2.直接对被积函数作无穷级数化变换

$$I = \int_0^{\infty}\frac{x^3}{e^x - 1}dx\tag{5}$$

被积函数的只含分母部分的因子$(e^x - 1)^{-1}$ 可以用无穷级数表达

$$\frac{1}{e^x - 1}=\sum_{n = 1}^\infty e^{-nx}\tag{6}$$
从而原始积分变为：

$$I=\sum_{n = 1}^\infty \int_0^\infty x^3 e^{-nx}dx\tag{7}$$
逐个求每一个项的定积分:
$$\int_0^\infty x^3 e^{-nx}dx = \frac{6}{n^4}\tag{8}$$
所以该积分为如下级数：
$$I=\sum_{n = 1}^\infty \frac{6}{n^4}\tag{9}$$
因为黎曼 $\zeta$函数有
$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^4} = \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\tag{10}$$

上面这个无穷级数的证明，可以用英文维基黎曼$\zeta$函数词条中提到的方法或者利用傅里叶级数的系数以及Parseval定理证明。——这个问题的难度和技巧值得欣赏。所涉及的无穷级数的值的Parseval定理和傅里叶变换证明还可以参考这里。

所以原始问题得证：

$$I = \frac{\pi^4}{15}\tag{11}$$

这篇关于一个定积分等式的证明的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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