高数(下) Ch12.无穷级数

Ch12. 无穷级数

零、无穷级数的分类

(1)常数项级数：
①同号级数：正项级数、负项级数
②变号级数：交错级数、任意项级数

(2)函数项级数：
①幂级数
②三角级数：傅里叶级数

一、常数项级数

(一) 级数的概念与性质

1.级数的概念

(1)级数的部分和$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$：级数的前n项和

级数的前 $n$ 项和 称为 级数的部分和：$S_n=u_1+u_2+...+u_k+...+u_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$

(2)无穷级数：$\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{u}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$

(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为$\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k$：
$\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k=u_1+u_2+...+u_k+...+u_n+...=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{u}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$

第$n$项 $u_n$ 称为级数的一般项

(3)收敛与发散

(1)如果级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$ 的部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn​}有极限s，即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s$，那么称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$ 收敛。这时极限$s$叫做这级数的和，并写成 $s=u_1+u_2+...+u_i+...$

(2))如果级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$ 的部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn​}没有极限，那么称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$ 发散。

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例题1：24李林六(二)12.   无穷级数的定义：前n项和的极限

分析：

答案：$\frac{4}{e}$

例题2：19年17.   定积分的几何应用：求平面图形的面积、级数求和

分析：见李艳芳解析

答案：$\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}=\frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}$

例题3：880 P46 二(3)(4)(6)
$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n=\sum _{k=1}^{\infty }$

例题4：用级数的概念判别敛散性(可以写成前n项和的形式)

答案：

___

2.级数的性质 (5条)

(1)数乘

(2)加减

①收敛 ± 收敛 = 收敛
②收敛 ± 发散 = 发散
③发散 ± 发散 = 不确定

(3)去掉有限项，不改变敛散性

推论：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$也收敛
证明：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}=\sum _{n=2}^{\infty }{u}_n=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}-u_1$，收敛

(4)收敛级数任意加括号，仍收敛

(5)必要条件：一般项趋于0

反例：$u_n=\frac{1}{n}$

3.四个特殊的常数项级数

①等比级数 / 几何级数

等比级数(几何级数)：$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=\{\begin{array}{rl}\frac{a}{1-q}(收敛)，& |q|<1\\ \infty (发散)，& |q|\ge 1\end{array}$

例：$s_1(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-nx}$。当 $|e^{-x}|<1$，即 $x>0$ 时，由几何级数的求和公式可得 $s_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{1}{e^x-1}$。该级数收敛，$s_1(x)$的收敛域为 $(0,+\infty )$   【21年18.】

②p级数

p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$   $\{\begin{array}{rl}p>1& ，收敛\\ 0<p\le 1& ，发散\end{array}$

p=2时，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

③调和级数

调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...=\infty$       发散

④交错调和级数、交错p级数

交错调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}+...=\ln 2$       收敛

交错p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^p}$   $\{\begin{array}{rl}p>1，& 绝对收敛\\ 0<p\le 1，& 条件收敛\\ p<0，& 发散\end{array}$

4.例题：常数项级数 敛散性的判定

1.常用于举反例的一般项：
①$a_n=\frac{1}{n}$ 或 $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$
②$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$
③$u_n=0,v_n=\pm 1$

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例题1：06年9.

答案：D

例题2：09年4.  常数项级数敛散性的判定

分析：
方法一：排除法
A.反例：$a_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，$b_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，$a_n{b}_n=\frac{1}{n}$，级数发散
B.反例：$a_n=\frac{1}{n}$，$b_n=\frac{1}{n}$，$a_n{b}_n=\frac{1}{n^2}$，级数收敛
D.反例：$a_n=\frac{1}{n}$，$b_n=(-1{)}^n\frac{1}{n}$，$a_n{b}_n=\frac{1}{n^4}$，级数收敛

方法二：直接法
①基本结论：对于一般级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|b_n|$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2$收敛
②∵$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，收敛数列必有界，则$|a_n|\le M$，则 $a_n^2{b}_n^2\le M^2{b}_n^2$
③∵ $\sum _{n=1}^{\infty }{M}^2{b}_n^2$收敛，由正项级数的比较审敛法知$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2{b}_n^2$也收敛

答案：C

例题3：19年3.  常数项级数敛散性的判定

分析：

方法一：排除法：举反例：单调增加的有界数列，可取 $u_n=-\frac{1}{n}$
A.反例：$u_n=-\frac{1}{n}+1$，则$\frac{u_n}{n}=-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}$，发散
B.反例：$u_n=-\frac{1}{n}$，则$(-1{)}^n\frac{1}{u_n}=(-1{)}^{n+1}n$，发散
C.反例：$u_n=-\frac{1}{n}$，则$(1-\frac{u_n}{u_{n+1}})=-\frac{1}{n}$，发散

方法二：直接法
设$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=A$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n^2=A^2$
$\sum _{k=1}^n(u_{k+1}^2-u_k^2)=u_{n+1}^2-u_1^2$
所以$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}^2-u_n^2)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n(u_{k+1}^2-u_k^2)=\underset{n\to \infty }{\lim }(u_{n+1}^2-u_1^2)=A^2-u_1^2$

答案：D

例题4：24李林六(一)3.

答案：D

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(二) 常数项级数的审敛准则

1.正项级数

(0)正项级数收敛的充分必要条件

正项级数收敛的充分必要条件：它的部分和数列$s_n$有上界，即：
①若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数且收敛，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$存在
②若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$不存在

(1)比较判别法

比较审敛法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散

1.先预判敛散性。若收敛，要放大。若发散，要缩小。
2.比较审敛法可用于抽象级数的审敛。而极限审敛法、比值法、根值法 必须要有具体的级数表达式才能使用。
结论：抽象级数的审敛，仅能使用比较审敛法。关键是要找到比较的对象。

(2)比较审敛法极限形式

(3)比值法

$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\{\begin{array}{rl}收敛，& \rho <1\\ 发散，& \rho >1\\ 不一定，& \rho =1（可能收敛，可能发散）\end{array}$

(4)根值法

(5)积分判别法

f(x) 单调减、非负、连续

里面的1可以换成任意正整数，如f(x)在[2,+∞]上单减、非负、连续，且a_n=f(n)，则 $\sum _{n=2}^{\infty }{a}_n与{\int }_2^{+\infty }f(x)dx同敛散$

2021考研数学大纲新增——积分判别法。 考研不以任何一本书或教材作为依据，而是以考研大纲作为依据。

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适用积分判别法级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$、$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$

结论：

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5个判别法的选择原则

(1)(2) 比较法、比较法的极限形式
(3)(4) 比值法、根值法
(5) 积分判别法：单调减、非负、连续

	比较法、比较法的极限形式	比值法、根值法
优点	适用范围广	使用方便，只需要跟自己比
缺点	使用不方便，需要找一个比较对象	适用范围窄，很多做不出判定
举例	$n^p$、$\ln n$	级数通项三巨头：$a^n$、$n!$、$n^n$

先考虑比值法、根值法，若无法做出判定，再考虑比较法、比较法的极限形式
$n!$ 用比值法，$({)}^n$ 用根值法

(6)正项级数收敛结论

(1)若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$、$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}$均收敛。但对一般级数，该结论不成立

(2)①若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$、$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{a}_{n+1}$均收敛。
【但对一般级数，该结论不成立。反例：$a_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，级数收敛。而$a_n^2=\frac{1}{n}$，级数发散。】
②对于一般级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$收敛

(3)若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{S}_n$、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{S_n}$均收敛

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例题1：22年14.

分析：

答案：-1

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2.交错级数： $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n，u_n>0$

交错级数审敛法——莱布尼茨收敛定理

莱布尼茨收敛定理：【充分非必要条件.反之交错级数收敛，推不出单调减少】

①$u_n$单调减少：如$u_n\ge u_{n+1}>0$
②$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$：趋于0
则交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ (或 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$) 收敛

3.任意项级数

(1)绝对收敛与条件收敛

$绝对收敛：\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|也收敛$（本身收敛，各项加绝对值也收敛）
$条件收敛：\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|发散$（本身收敛，各项加绝对值发散）

1.级数共有绝对收敛、条件收敛和发散三种情况。收敛级数只有绝对收敛和条件收敛两种情况。
2.$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}_n在x=x_0处条件收敛，则收敛半径R=x_0$

(2)绝对收敛必收敛 (任意项级数)

收敛分绝对收敛和条件收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛 ⇦⇨ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛 且$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$也收敛

(3)结论

1.用比值法、根值法，求得绝对值级数发散，则原级数也发散。
2.绝对收敛 ± 条件收敛 = 条件收敛
条件收敛 ± 条件收敛 = 条件收敛 或 绝对收敛
绝对收敛 ± 绝对收敛 = 绝对收敛

(4)例题

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例题1：23年4.

答案：A

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二、幂级数

幂级数定义：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^{2}2+a_3{x}^3+...+a_n{x}^n+...$

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例题1：10年14.   数字特征与幂级数

答案：2

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(一) 收敛半径、收敛区间、收敛域

1.阿贝尔定理

阿贝尔定理推论：

1.正数R称为幂级数的收敛半径。开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。

①当|x|<R时，幂级数绝对收敛；
②当|x|>R时，幂级数发散；
③当x = R或x = -R时，幂级数敛散性不定，可能收敛也可能发散。敛散性视 { a n } \{a_n\} {an​}确定。

2.幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，当且仅当 $x=\pm R$ 时，才会出现条件收敛。

①$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$条件收敛   ⇦⇨   $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在 $x=-1$ 处条件收敛   ∴$R=1$

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例题1：15年3.  阿贝尔定理

分析：

答案：B

例题2：24李林六(二)3.   阿贝尔定理

分析：

答案：D

例题3：11年2.   阿贝尔定理 + 莱布尼茨收敛定理

分析：

答案：C

例题4：20年4.

答案：A

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2.求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

求收敛域：①求收敛半径 ②判断端点是否收敛

(1)阿达玛公式

1.收敛半径R：
$$\begin{gathered} ①\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|R=\frac{1}{\rho } \\ ②\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}R=\frac{1}{\rho } \end{gathered}$$
2.收敛区间：$(-R,R)$         收敛区间是开区间
3.收敛域：在收敛区间的基础上，验证x=R和x=-R两个端点

(2)比值法：求幂级数的收敛域

$u_n(x)=a_n{x}^n，\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|<1，收敛$

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例题1：22年14.   求函数项级数的收敛域：比值法

分析：$e^{-nx}$，无法完全分离出$a_n$，不能使用阿达玛公式，改用比值法(ρ<1)求x的收敛范围

答案：-1

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(3)缺项幂级数

①用 比值法 或 根值法，带$u_n(x)$

缺项幂级数求收敛域：$u_n(x)$比值法 或 根值法，ρ(x)<1，得出收敛区间。再代入端点值验证，得出收敛域。

记$u_n(x)=a_n{x}^n，\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|$

②公式改进：$R^2=\frac{1}{\rho }$ (仅能用于选填)

只有偶次项$x^{2n}$ 或 奇次项$x^{2n-1}$ 的幂级数，
依然用比值法、根值法求ρ，则 $R^2=\frac{1}{\rho }$，$R=\sqrt{\frac{1}{\rho }}$

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例题1：12年17.   求缺项幂级数的收敛域及和函数

分析：缺项幂级数求收敛域：$u_n(x)$比值法，ρ(x)<1，得出收敛区间。再代入端点值验证，得出收敛域。

答案：

例题2：24李林六(一)19.   求缺项幂级数的收敛域及和函数

答案：

例题3： 1995年4.  缺项幂级数也可以用阿达玛公式，只不过要注意$R^2=\frac{1}{\rho }，R=\sqrt{\frac{1}{\rho }}$

分析：

答案：$\sqrt{3}$

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(4)偏心幂级数 $(x-x_0{)}^n$

代入收敛半径时：当 $x-x_0=R$、$x-x_0=-R$

(二) 幂级数性质

1.有理运算性质

两个幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}_n$ 和 $\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}_n$ 的收敛半径分别为 $R_1$和$R_2$，则在 R = min ⁡ { R 1 , R 2 } R=\min\{R₁,R₂\} R=min{R1​,R2​}内，加减乘除运算都成立。
①当$R_1\ne R_2$时，新的收敛半径为R=min{R₁,R₂}
②当$R_1=R_2$时，新的收敛半径R ≥ R1或R2

2.幂级数的和函数S(x)的性质

(1)连续

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数$S(x)$在其收敛域 $I$ 上连续

(2)逐项积分

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数$S(x)$在其收敛域$I$上可积，并有逐项积分公式 ${\int }_0^{x}S(t)dt={\int }_0^x\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^{n}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}(x\in I)$。
且逐项积分后所得到的幂级数和原级有相同的收敛半径。

(3)逐项求导：$\sum _{n=0}^{\infty }n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(x^n{)}^{\prime }$

其收敛区间(-R,R)内可导，且有逐项求导公式 $S^{\prime }(x)=(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}(|x|<R)$。且逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。收敛区间上任意阶可导。

①$\sum _{n=0}^{\infty }n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(x^n{)}^{\prime }=(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n{)}^{\prime }=(\frac{1}{1-x}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

②$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }(x^n{)}^{\prime }=(\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n{)}^{\prime }=(\frac{x}{1-x}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

总结：
①幂级数逐项求导有可能缩小收敛域，幂级数逐项积分可能扩大收敛域。但收敛半径、收敛区间不变。
即求导和积分只可能会改变端点处的敛散性。

②要用连续、逐项积分，先求收敛域。要用逐项求导，先求收敛区间。   【2013年16(1)】

(三) 幂级数展开

1.泰勒级数（麦克劳林级数）

幂函数	展开式	级数
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}(-\infty <x<+\infty )$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...$	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-\infty <x<+\infty )$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...$	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}(-\infty <x<+\infty )$
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+...+x^n+...$	$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n(-1<x<1)$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2+...+(-1{)}^n{x}^n+...$	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n(-1<x<1)$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1{)}^n\frac{x^n}{n}+...$	$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$
$-\ln (1-x)$	$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+\frac{x^n}{n}+...=$	$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}(-1\le x<1)$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+(-1{)}^n\frac{x^n}{n}+...$	$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}(-1\le x\le 1)$

特别的：对于$\ln (1+x)$，令x=1，可得：
$\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

2.函数f(x)展开为幂级数：函数→幂级数

函数→幂级数：
①凑标杆：先求导或积分到标杆 $\frac{1}{1-x}$ 的形式 (x可以为任意形式)，以“标杆”为桥梁变成幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$ (x可以为任意形式)。
②凑题干：和分两项，尽力合并，注意题干是n=0还是n=1，努力把两项变一项，凑成题干的形式
③求常数项级数：此时的求常数项级数，就是把幂级数中的x代入特定值。

(1)直接展开法

(2)间接展开法

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例题1：01年13.

分析：

答案：$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$

例题2：

例题3：展开成ln[1+(x-1)]，用泰勒级数

例题4：

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3.求幂级数的和函数S(x)：幂级数→函数

求和函数S(x)，先要指出收敛的范围，即求收敛域

(1)换元 凑已知的泰勒级数

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例题1：17年12.   积分消分子，凑标杆，再求导回来

分析：

答案：$\frac{1}{(1+x{)}^2}$

例题2：19年11.

分析：凑cosx的泰勒级数

答案：$\cos \sqrt{x}$

例题3：23李林四(一)14.

分析：换元法

答案：$\frac{x{e}^x}{e^x-1}(x>0)$

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(2)逐项求导、逐项积分求和函数 S(x)

标杆

(1)重要“标杆”：$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{1}{1-x}(-1<x<1)$
(2)变形:
$\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n=x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{x}{1-x}(-1<x<1)$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^n{x}^n+...=\frac{1}{1+x}(-1<x<1)$

(3)

(4)①有分子就先积分消分子，凑标杆为函数，再求导。
②有分母就先求导消分母，凑标杆为函数，再积分。
一次求导(到凑标杆)，对应一次积分。两次求导(到凑标杆)，对应两次积分
一次积分(到凑标杆)，对应一次求导。两次积分(到凑标杆)。对应两次求导

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例题1：看和哪一个公式比较接近。从右向左

例题2：

例题3：

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(3)拆两项，分别求

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例题1：24李林六(六)13.   构造幂级数求常数项级数、拆两项，分别求

分析：先整理，再换为幂级数代值

答案：$\frac{10}{9}$

例题2：21年18.   逐项求导，只在开区间(-R,R)上成立，端点值要单独讨论

答案：

例题3：05年16.  求收敛区间、和函数

答案：

(4)构造微分方程求和函数 S(x)

含有常数项递推式，求和函数，一般是需要对S(x)求导，构造一阶线性微分方程，利用公式法求解 y=S(x)

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例题1：20年17.

答案：

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三、傅里叶级数

形如下式的级数叫做三角级数：$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi t}{l})+b_n\sin \frac{n\pi t}{l})$
令$\frac{\pi t}{l}=x$，三角级数可变为：$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx)+b_n\sin nx)$
这就把以 $2l$ 为周期的三角级数转换成以 $2\pi$ 为周期的三角级数。

1.傅里叶系数、傅里叶级数

周期为2π的傅里叶系数：
$$\{\begin{array}{rl}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x& (n=0,1,2,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x& (n=1,2,...)\end{array}$$

傅里叶级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

$f_1(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+b_1\sin x$
$f_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$

(1)正弦级数、余弦级数

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数：$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$

证明：
①当$f(x)为奇函数$时，$f(x)\cos nx$是奇函数，$f(x)\sin nx$是偶函数，故
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=0(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,...)\end{array}$$
②当$f(x)为偶函数$时，$f(x)\cos nx$是偶函数，$f(x)\sin nx$是奇函数，故
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=0(n=1,2,3,...)\end{array}$$

(2)周期为$2l$的周期函数的傅里叶级数：$T=2l$

设周期为$2l$的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\frac{\pi }{l}x+b_n\sin n\frac{\pi }{l}x)$

其中$\{\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos n\frac{\pi }{l}xdx(n=0,1,2,...)\\ b_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin n\frac{\pi }{l}x(n=1,2,3,...)\end{array}$

当$f(x)$为奇函数时，$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\frac{\pi }{l}x$。其中 $b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin n\frac{\pi }{l}x$
当$f(x)$为偶函数时，$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\frac{\pi }{l}x$。其中 $a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos n\frac{\pi }{l}xdx$

(3)题型1：计算傅里叶系数

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例题1：23年13.   计算傅里叶系数：周期为2l的周期函数的傅里叶级数

分析：
先求出$a_n$，再代入2n，求得$a_{2n}=0$，求和也是0

答案：0

例题2：24李林六(四)14.

分析：定积分平移公式/定积分区间变换公式

答案：0

例题3：03年3.

分析：

答案：1

例题4：1993年3.

分析：

答案：$\frac{2}{3}\pi$

例题5：14年4.

分析：①傅里叶级数 ②直接计算积分 ③代入选项求积分比最小

答案：A

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2.狄利克雷收敛定理

(1)奇延拓

(2)偶延拓

(3)周期延拓

周期延拓：从周期为[-π,π)或(-π,π] 延展为周期为2π的周期函数

(4)题型2：利用狄利克雷收敛定理求值

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例题1：13年3.   奇延拓、周期延拓、狄利克雷收敛定理

分析：
步骤：关注f(x)、S(x)、b_n的范围
①b_n是在(0,1)，画出f(x)在(0,1)上的图像
②S(x)是正弦级数，是奇函数的傅里叶展开，对f(x)进行奇延拓。再根据周期T=2，对f(x)进行周期延拓。
③根据狄利克雷收敛定理，计算S(x)

$S(-\frac{9}{4})=S(-\frac{9}{4}+2)=S(-\frac{1}{4})=-S(\frac{1}{4})\underset{连续点}{\overset{狄利克雷收敛定理}{=}}-f(\frac{1}{4})=-|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=-\frac{1}{4}$

答案：C

例题2：99年选择3   偶延拓、周期延拓

分析：
S(x)是偶函数的傅里叶级数的和函数
画出f(x)图像，把f(x)进行偶延拓、周期延拓，周期为2
$S(-\frac{5}{2})=S(-\frac{5}{2}+2)=S(-\frac{1}{2})=S(\frac{1}{2})\underset{间断点}{\overset{狄利克雷收敛定理}{=}}\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4}$

答案：C

例题3：23李林四(四)14.   周期延拓

分析：

答案：$\frac{{\pi }^2}{2}$

例题4：

分析：展开为正弦，奇延拓

答案：B

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3.函数展开为傅里叶级数

(1)周期为$2\pi$的函数展开

①常规展开：[-π,π]上展开

②奇偶函数：[-π,π]上奇偶函数展开

③半个周期上展开为正弦：奇延拓，展开为余弦：偶延拓

奇延拓：展开为正弦。把(0,π]上的奇函数延展为(-π,π]上的奇函数。
偶延拓：展开为余弦。把(0,π]上的偶函数延展为(-π,π]上的偶函数

(2)周期为$2l$的函数展开

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$

①常规展开：$[-l,l]$上展开

②$[-l,l]$上奇、偶函数的展开

奇函数只有奇数项，只含sin，不含cos
偶函数只有偶数项，只含cos，不含sin

③半个周期上展开为正弦(奇延拓)或展开为余弦(偶延拓)：在$[0,l]$上展开为正弦或展为余弦

(3)题型3：计算傅里叶级数展开式

1.傅里叶级数：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

2.余弦级数：
偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$

3.傅里叶系数
周期为2π的傅里叶系数：
$$\{\begin{array}{rl}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x& (n=0,1,2,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x& (n=1,2,...)\end{array}$$

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例题1：24李林四(三)12.   将函数展开成傅里叶级数

分析：
偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$。本题只需要求 $a_0$ 和 $a_n$，即本质还是求傅里叶系数$a_n$。

答案：$\frac{\pi +2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{n^2\pi }[(-1{)}^n-1]\cos nx(0\le x\le \pi )$

例题2：95年四((2)

分析：

例题3：91年五

分析：

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