本文主要是介绍MIT18.06线性代数课程笔记12:使用邻接矩阵证明欧拉定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。
课程笔记
此部分是对所学线性代数知识的应用,首先通过探讨图的邻接矩阵的性质证明平面欧拉定理,然后介绍了应用基尔霍夫定律求解电势的方法。
1. 邻接矩阵的定义
图是由顶点与边组成,设顶点数为 n ,边数为
2. 邻接矩阵的性质
所谓性质,即讨论其left null space以及row space。
其left null space的定义为 {y|MTy=0} ,则有其基对应于图中网孔。基底为sum(abs(y))最小的 m−r 个线性无关向量。
https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%BA%E5%B0%94%E9%9C%8D%E5%A4%AB%E5%AE%9A%E5%BE%8B/2371560?fr=aladdin
4、网孔:
(1)其内部不包含任何支路的回路。
(2)网孔一定是回路,但回路不一定是网孔。
那row space则是线性无关的边,即row space的基底组成的图不存在回路(left null space维度为0)。所以row space的维度为 n−1 ,因为只包含row space的基底所在边的原图子图为树,边数为 n−1 。
综上 r=n−1 , r(N(MT))=m−r=m−(n−1)
3. 直推平面欧拉定理
直接带入left null space维度以及 m,n 的物理意义可得:点数+网孔数-边数=1 ( n+r(N(MT))−m=1 )
4. 使用邻接矩阵应用基尔霍夫定律的例子
设 u=[u1,u2,⋯,un]T 为顶点电势,有 Mu 为每条边对应的电势差。进而电流为 CMu ,其中 C 为对角阵,因为电流是电压的常数倍。应用基尔霍夫定律
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