算法训练 | 动态规划Part7 | 198.打家劫舍、213.打家劫舍II、337.打家劫舍III

本文主要是介绍算法训练 | 动态规划Part7 | 198.打家劫舍、213.打家劫舍II、337.打家劫舍III，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

198.打家劫舍（线性）

动态规划法

213.打家劫舍II（环形）

动态规划法

337.打家劫舍III（二叉树）

动态规划法

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198.打家劫舍（线性）

• 题目链接：198. 打家劫舍 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。所以这里就更感觉到，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动态规划的递推公式。

• 解题步骤

  • 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

  • 确定递推公式：决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

    • 如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

    • 如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

    • 然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

  • dp数组如何初始化：从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]，从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

  • 确定遍历顺序：dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历。

  • 举例推导dp数组：

• 代码注意

  • 初值设置

• 代码一：动态规划

// 时间复杂度: O(n)
// 空间复杂度: O(n)
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];vector<int> dp(nums.size());dp[0] = nums[0];dp[1] = max(nums[0], nums[1]);for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);}return dp[nums.size() - 1];}
};

213.打家劫舍II（环形）

• 题目链接：213. 打家劫舍 II - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

    对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：注意这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。而情况二和情况三都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

  • 情况一：考虑不包含首尾元素

  • 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

  • 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

• 解题步骤

  • 同打家劫舍1，只是抽离分情况

• 代码一：动态规划

// 注意注释中的情况二情况三，以及把198.打家劫舍的代码抽离出来了
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];int result1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2); // 情况二int result2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1); // 情况三return max(result1, result2);}// 198.打家劫舍的逻辑int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {if (end == start) return nums[start];vector<int> dp(nums.size());dp[start] = nums[start];dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);for (int i = start + 2; i <= end; i++) {dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);}return dp[end];}
};

337.打家劫舍III（二叉树）

• 题目链接：337. 打家劫舍 III - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）

  • 动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。以二叉树递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲。

• 解题步骤

  • 确定递归函数的参数和返回值：要求一个节点偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

  • 确定终止条件：在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回。这也相当于dp数组的初始化。

  • 确定遍历顺序：首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

  • 确定单层递归的逻辑：如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义）如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

  • 例推导dp数组：以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

• 代码一：x动态规划

// 时间复杂度：O(n)，每个节点只遍历了一次
// 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间
class Solution {
public:int rob(TreeNode* root) {vector<int> result = robTree(root);return max(result[0], result[1]);}// 长度为2的数组，0：不偷，1：偷vector<int> robTree(TreeNode* cur) {if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};vector<int> left = robTree(cur->left);vector<int> right = robTree(cur->right);// 偷cur，那么就不能偷左右节点。int val1 = cur->val + left[0] + right[0];// 不偷cur，那么可以偷也可以不偷左右节点，则取较大的情况int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);return {val2, val1};}
};

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