数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula

本文主要是介绍数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula

0. 前言

完整内容同步发表于 https://blog.csdn.net/Mr_Azz/article/details/135443217

由于证明量过于巨大，部分证明简化，详情请见网址。

1. 思考

我们学习过一元二次方程的求根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。

补充 ${\omega }^2+\omega +1=0$ 且 ${\omega }^3=1$，将 $\omega$ 称为 $1$ 的三次单位根。

2. 证明 卡尔丹公式证明

设一元三次方程 $a{y}^3+b{y}^2+cy+d=0(1)$

令 $y=x-\frac{b}{3a}$，代入得：$x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{a{b}^3-9bc+27a^{2}d}{27a^3}=0(2)$

令 $p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{a{b}^3-9bc+27a^{2}d}{27a^3}$，则 $x^3-px+q=0(3)$

令 $x=u+v$，代入至 (3) 式得：$u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0(4)$

令 $3uv-p=0$ 即 $uv=\frac{p}{3}$，代入 (4) 式得：$u^3+v^3=-q(5)$

$\therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}(6)$
$$联立(5)和(6)式得:\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\end{array}即\{\begin{array}{c}{u}^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\end{array}$$

$$
\therefore u=\left{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}{4}-\frac{p}3}{27}}}~~~~~~~ \
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}{4}-\frac{p}3}{27}}}·\omega~~\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}{4}-\frac{p}3}{27}}}·\omega^2\
\end{matrix}
\right.

v=\left\{
\begin{matrix}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~  \\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega~~\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\\end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$$$\because uv=\frac{p}{3}$$$
\therefore x=\left\{
\begin{matrix}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}~~~~~~~~~~~~\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\\end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$$### 3. 总结一元二次方程有自己的判别式，其实在一元三次方程中也有自己的判别式：$\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$| 条件                          | 情况                                 |
| ----------------------------- | ------------------------------------ |
| $\Delta>0$                    | **方程有一个实根和一对共轭虚根**     |
| $\Delta=0$ **且** $pq \neq 0$ | **方程有一个两重实根和一个单重实根** |
| $\Delta<0$                    | **方程有三个互异实根**               |
| $p=q=0$                       | **方程有一个三重实根**               |

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