分别用高斯消元法和列主元消去法求解,(自制)表格比较两种算法的结果与精度,分析实验出现的问题,并总结解决办法。

本文主要是介绍分别用高斯消元法和列主元消去法求解,(自制)表格比较两种算法的结果与精度,分析实验出现的问题,并总结解决办法。,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

以下是一个使用高斯消元法和列主元消去法求解线性方程组的示例:

假设我们要解决以下线性方程组:

4x + 2y + z = 8 -2x + y - 3z = -11 3x - 2y + 4z = 10

首先,我们可以将该线性方程组表示为增广矩阵的形式:

[4 2 1 | 8] [-2 1 -3 | -11] [3 -2 4 | 10]

使用高斯消元法,我们可以进行以下操作:

  1. 将第一个方程除以4,得到1x + 0.5y + 0.25z = 2;
  2. 将第一个方程的2倍加到第二个方程上,得到0x + 2y - 2.5z = -3;
  3. 将第一个方程的3倍减去第三个方程,得到0x + 0y + 2.25z = 4;
  4. 将第二个方程的1/2倍加到第三个方程,得到0x + 0y + 2.25z = 4。

现在,我们得到了一个上三角形矩阵,可以通过回代法求解。我们可以从最后一行开始, 得到z = 4 / 2.25 = 1.7778。 然后,通过第二个方程,我们可以得到y = (-3 + 2.5z) / 2 = 0.4444。 最后,通过第一个方程,我们可以得到x = (2 - 0.5y - 0.25z) / 1 = 1.5556。 因此,解为x = 1.5556,y = 0.4444,z = 1.7778。

接下来,我们使用列主元消去法来解决相同的线性方程组。列主元消去法与高斯消元法的主要区别在于选择主元的方式。 在列主元消去法中,我们会在每一列中选择绝对值最大的元素作为主元,以避免除以零的情况。

首先,我们还是将线性方程组表示为增广矩阵的形式:

[4 2 1 | 8] [-2 1 -3 | -11] [3 -2 4 | 10]

然后,我们会选择第一列中绝对值最大的元素,并将其作为主元。在第一行和第三行中,4的绝对值最大,因此我们将第一行与第三行交换。

[3 -2 4 | 10] [-2 1 -3 | -11] [4 2 1 | 8]

现在,我们可以进行列主元消去法的操作:

  1. 将第一个方程除以3,得到1x - (2/3)y + (4/3)z = 10/3;
  2. 将第一个方程的2倍加到第二个方程上,得到0x + (1/3)y - (10/3)z = -29/3;
  3. 将第一个方程的4倍减去第三个方程,得到0x + (10/3)y - (14/3)z = -2/3;
  4. 将第二个方程的3倍减去第三个方程,得到0x + 0y + 6z = -3。

现在,我们得到了一个上三角形矩阵,可以通过回代法求解。我们可以从最后一行开始, 得到z = -3 / 6 = -0.5。 然后,通过第二个方程,我们可以得到y = (-29/3 + (10/3)z) / (1/3) = -3。 最后,通过第一个方程,我们可以得到x = (10/3 - (2/3)y - (4/3)z) / 1 = 1。 因此,解为x = 1,y = -3,z = -0.5。

下面是一个比较高斯消元法和列主元消去法结果与精度的表格:

方程组的解高斯消元法列主元消去法
x1.55561
y0.4444-3
z1.7778-0.5

从上表可以看出,高斯消元法和列主元消去法得到的解略有不同。这是由于高斯消元法在选择主元时可能选择了较小的元素,从而导致了舍入误差的累积。而列主元消去法通过选择绝对值最大的元素作为主元,减少了这种累积误差。

分析实验中出现的问题:

  1. 高斯消元法可能出现除以零的情况,如在第一个方程中除以了4。这是因为高斯消元法不对主元进行选择,可能导致主元为零。解决方法是在选择主元之前,通过交换行或列,确保主元不为零。
  2. 高斯消元法在计算过程中可能会产生大量的舍入误差。这是由于浮点数的有限精度表示。解决方法是在计算过程中尽量避免大幅度的数值变化,比如除以较大的数或相减较大的数,可以通过缩放矩阵或增加精度来减少舍入误差。
  3. 列主元消去法可以避免除以零的情况,但可能会选择一个相对较小的元素作为主元,从而导致舍入误差的累积。解决方法是在选择主元时,可以通过交换行或列,选择绝对值最大的元素作为主元,从而减少误差的累积。

综上所述,高斯消元法和列主元消去法是两种常用的求解线性方程组的方法。尽管高斯消元法较为简单,但在某些情况下可能出现除以零的情况和舍入误差的累积。列主元消去法通过选择绝对值最大的元素作为主元,可以避免除以零的情况和减少舍入误差的累积。因此,在实际使用中,可以根据具体情况选择适合的方法来求解线性方程组。

这篇关于分别用高斯消元法和列主元消去法求解,(自制)表格比较两种算法的结果与精度,分析实验出现的问题,并总结解决办法。的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/927089

相关文章

Spring事务中@Transactional注解不生效的原因分析与解决

《Spring事务中@Transactional注解不生效的原因分析与解决》在Spring框架中,@Transactional注解是管理数据库事务的核心方式,本文将深入分析事务自调用的底层原理,解释为... 目录1. 引言2. 事务自调用问题重现2.1 示例代码2.2 问题现象3. 为什么事务自调用会失效3

SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码

《SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码》加盐算法是一种用于增强密码安全性的技术,本文主要介绍了SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习... 目录一、什么是加盐算法二、如何实现加盐算法2.1 加盐算法代码实现2.2 注册页面中进行密码加盐2.

MySQL错误代码2058和2059的解决办法

《MySQL错误代码2058和2059的解决办法》:本文主要介绍MySQL错误代码2058和2059的解决办法,2058和2059的错误码核心都是你用的客户端工具和mysql版本的密码插件不匹配,... 目录1. 前置理解2.报错现象3.解决办法(敲重点!!!)1. php前置理解2058和2059的错误

Docker镜像pull失败两种解决办法小结

《Docker镜像pull失败两种解决办法小结》有时候我们在拉取Docker镜像的过程中会遇到一些问题,:本文主要介绍Docker镜像pull失败两种解决办法的相关资料,文中通过代码介绍的非常详细... 目录docker 镜像 pull 失败解决办法1DrQwWCocker 镜像 pull 失败解决方法2总

SpringBoot启动报错的11个高频问题排查与解决终极指南

《SpringBoot启动报错的11个高频问题排查与解决终极指南》这篇文章主要为大家详细介绍了SpringBoot启动报错的11个高频问题的排查与解决,文中的示例代码讲解详细,感兴趣的小伙伴可以了解一... 目录1. 依赖冲突:NoSuchMethodError 的终极解法2. Bean注入失败:No qu

找不到Anaconda prompt终端的原因分析及解决方案

《找不到Anacondaprompt终端的原因分析及解决方案》因为anaconda还没有初始化,在安装anaconda的过程中,有一行是否要添加anaconda到菜单目录中,由于没有勾选,导致没有菜... 目录问题原因问http://www.chinasem.cn题解决安装了 Anaconda 却找不到 An

Spring定时任务只执行一次的原因分析与解决方案

《Spring定时任务只执行一次的原因分析与解决方案》在使用Spring的@Scheduled定时任务时,你是否遇到过任务只执行一次,后续不再触发的情况?这种情况可能由多种原因导致,如未启用调度、线程... 目录1. 问题背景2. Spring定时任务的基本用法3. 为什么定时任务只执行一次?3.1 未启用

在C#中调用Python代码的两种实现方式

《在C#中调用Python代码的两种实现方式》:本文主要介绍在C#中调用Python代码的两种实现方式,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录C#调用python代码的方式1. 使用 Python.NET2. 使用外部进程调用 Python 脚本总结C#调

MySQL新增字段后Java实体未更新的潜在问题与解决方案

《MySQL新增字段后Java实体未更新的潜在问题与解决方案》在Java+MySQL的开发中,我们通常使用ORM框架来映射数据库表与Java对象,但有时候,数据库表结构变更(如新增字段)后,开发人员可... 目录引言1. 问题背景:数据库与 Java 实体不同步1.1 常见场景1.2 示例代码2. 不同操作

利用Python开发Markdown表格结构转换为Excel工具

《利用Python开发Markdown表格结构转换为Excel工具》在数据管理和文档编写过程中,我们经常使用Markdown来记录表格数据,但它没有Excel使用方便,所以本文将使用Python编写一... 目录1.完整代码2. 项目概述3. 代码解析3.1 依赖库3.2 GUI 设计3.3 解析 Mark