20240404-算法复习打卡day44||● 完全背包● 518. 零钱兑换 II ● 377. 组合总和 Ⅳ

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

题目描述

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间 

接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void completePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagweight) {vector<int> dp(bagweight + 1, 0);for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagweight] << endl;
}
int main() {int N, V;cin >> N >> V;vector<int> weight;vector<int> value;for (int i = 0; i < N; i++) {int w;int v;cin >> w >> v;weight.push_back(w);value.push_back(v);}completePack(weight, value, V);return 0;
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现

{5, 1}的情况。

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

先遍历背包容量，再遍历物品，dp[j]代表排列数

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
};

一个简单例子：

假设我们有一个金额为 5 的硬币兑换问题，硬币的面额为 [1, 2, 5]。

我们要计算组合成金额 5 的组合数。

初始时，dp 数组为 [1, 0, 0, 0, 0, 0]，其中 dp[0] = 1，表示组合成金额 0 的组合数为 1，其他位置都初始化为 0。

接下来，我们遍历每个硬币。

1. 当考虑面额为 1 的硬币时：
   • 我们从 coins[i] = 1 开始遍历背包容量，即从 j = 1 开始。
   • 对于 j = 1，更新 dp[1] += dp[0]，即 dp[1] += 1，表示组合成金额 1 的组合数为 1。
   • 对于 j = 2，更新 dp[2] += dp[1]，即 dp[2] += 1，表示组合成金额 2 的组合数为 1。
   • 对于 j = 3，更新 dp[3] += dp[2]，即 dp[3] += 1，表示组合成金额 3 的组合数为 1。
   • 对于 j = 4，更新 dp[4] += dp[3]，即 dp[4] += 1，表示组合成金额 4 的组合数为 1。
   • 对于 j = 5，更新 dp[5] += dp[4]，即 dp[5] += 1，表示组合成金额 5 的组合数为 1。
2. 当考虑面额为 2 的硬币时：
   • 我们从 coins[i] = 2 开始遍历背包容量，即从 j = 2 开始。
   • 对于 j = 2，更新 dp[2] += dp[0]，即 dp[2] += 1，表示组合成金额 2 的组合数为 2。
   • 对于 j = 3，更新 dp[3] += dp[1]，即 dp[3] += 1，表示组合成金额 3 的组合数为 2。
   • 对于 j = 4，更新 dp[4] += dp[2]，即 dp[4] += 2，表示组合成金额 4 的组合数为 3。
   • 对于 j = 5，更新 dp[5] += dp[3]，即 dp[5] += 1，表示组合成金额 5 的组合数为 3。
3. 当考虑面额为 5 的硬币时：
   • 我们从 coins[i] = 5 开始遍历背包容量，即从 j = 5 开始。
   • 对于 j = 5，更新 dp[5] += dp[0]，即 dp[5] += 1，表示组合成金额 5 的组合数为 4。

最终，dp[amount] 的值为 4，表示组合成金额 5 的组合数为 4。

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int j = 0; j <= target; j++) {for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}}return dp[target];}
};