多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础

2024-04-08 10:20
文章标签 基础 规划 matlab 学习 记录 轨迹 01 机器人 数学 机械 运动学 dh 正逆解 多轴

本文主要是介绍多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

系列文章目录

本科毕设正在做多轴机械臂相关的内容，这里是一个学习机械臂运动学课程的相关记录。
如有任何问题，可发邮件至layraliu@foxmail.com问询。
1. 数学基础

文章目录

  • 系列文章目录
  • 一、空间位置、姿态描述
  • 二、旋转矩阵（Rotation matrix）
    • 1.特性
    • 2.用法
    • 3.旋转矩阵与转角（旋转的前后顺序不能互换）
  • 三、变换矩阵
    • 1.如何将移动和转动整合在一起
    • 2.transformation matrix运算
  • 总结

一、空间位置、姿态描述

  1. 运动学建模分类
    正运动学：根据协作机器人的关节角度，计算末端位姿。
    逆运动学：已知机器人末端位置，反解其关节角，涉及多解问题。
  2. 空间某点位置
    3 x 1的位置矢量
    空间点p=[x0 y0 z0]T（列向量）
  3. 一个刚体的姿态如何描述
    平面：移动2 DOFs(degree of freedom)、转动1 DOFs（两个面一个转动，c22=1)
    空间：移动3 DOFs(degree of freedom)、转动3 DOFs（两个面一个转动，c32=3)
    在这里插入图片描述
    由上图可知（红色为刚体质心随时间变化的轨迹），刚体的移动由body frame的原点位置判定；刚体的转动由body frame的姿态判定。
    利用各个DOF的微分/二次微分，将位移和姿态转换到速度和加速度的运动状态。
  4. 转动（旋转矩阵）
    描述B相对于A的姿态。（觉得湾湾翻译不太一样哈哈哈，其中direct cosines应为direction cosines？我理解就是方向余弦）
    那其实也可以很显然的发现，旋转矩阵是一个正交矩阵。其每一列都是单位矩阵，并且两两正交（坐标轴不就是互相垂直的嘛）。
    在这里插入图片描述

二、旋转矩阵（Rotation matrix）

1.特性

（其实就是正交矩阵的转置亦为其逆）
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
其实此矩阵的秩=3（阶数），所以转动具有3个DOFs。

2.用法

  1. 描述一个frame相对于另外一个frame的姿态

  2. 将point由某个frame的表达，转换到另一个frame。（可以联想一下线代里面有关于基向量那部分的知识，同一个向量在不同坐标系中的表达）
    在这里插入图片描述

  3. 将point在同一个frame中进行转换。
    在这里插入图片描述

3.旋转矩阵与转角（旋转的前后顺序不能互换）

  1. 两个拆解方式
    Fixed angles：对方向固定不动的转轴旋转；
    Euler angles：对转动的frame当下所在的转轴方向旋转。
  2. 把旋转矩阵所表达的姿态，拆解成3次旋转角度需注意：
    多次旋转的先后顺序需定义；
    旋转转轴需要明确定义。
  3. 对应于绕x，y，z轴旋转θ角度的位姿变化，对应的旋转矩阵分别为：（逆时针为正方向）

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

  1. Fixed angles（按照x——y——z顺序转）
    已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
    （新变换要左乘）
    在这里插入图片描述
    已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
    注意：atan2是一个函数，在C语言里返回的是指方位角，C 语言中atan2的函数原型为 double atan2(double y, double x) ，返回以弧度表示的 y/x 的反正切。y 和 x 的值的符号决定了正确的象限。也可以理解为计算复数 x+yi 的辐角，计算时atan2 比 atan 稳定。
    在这里插入图片描述
  2. Euler angles（按照z——y——x顺序转）
    （新变换要右乘，其实就是绝对坐标左乘，相对坐标右乘）这样就保证了，虽然Euler和fixed angles变换的转轴不一致，但仍能得到相同的公式。
    已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
    在这里插入图片描述
    已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
    在这里插入图片描述
  3. Euler/Fixed angles
    三次转动共有322=12个拆解方法（只要前后两个不一致即可）
    Euler正转和Fixed angles反转是有一致性的。
  4. Angle-axis表达法
  5. Quaternion表达法（四元素法）
    在这里插入图片描述

三、变换矩阵

1.如何将移动和转动整合在一起

Homogenous transformation matrix
（以下为mapping角度）
在这里插入图片描述
以下图片为Homogenous transformation matrix的证明：（org为B原点）
在这里插入图片描述
并且可以做连乘
在这里插入图片描述

（以下为operator角度）
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（先转动再移动）
在这里插入图片描述
其实可见，移动是加法，转动是乘法。
以下是对两个的理解：
Operators： mapping理解为定位（本身不动，将point由某个frame的表达换到另一个frame来表达），operator理解为变换（本身变了，将point在同一个frame中进行移动和转动）
operator只有一个坐标系，mapping是在二个或多个坐标系。
也就是说对于一个旋转矩阵（我们的本质需求），我们有两种理解方式，一种是线性代数几何应用的Operation，一种是矩阵分析中过渡矩阵的mapping。（来源：）

因为运动是相对的，所以当Homogenous transformation matrix当operator时对向量/点进行移动或转动的操作，也可以想象成是对frame进行反向的。即为point向前/顺时针移，frame往后/逆时针移。

2.transformation matrix运算

  1. 连续运算
    在这里插入图片描述

  2. 反矩阵
    在这里插入图片描述

  3. 连续运算，求未知之相对关系
    在这里插入图片描述

  4. 连续运算法则
    mapping可以理解为映射，而operator可以理解为变化。在这里插入图片描述

总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了 多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法的学习记录01——数学基础，而Matlab提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。如有任何问题，可发邮件至layraliu@foxmail.com问询。

这篇关于多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


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