本文主要是介绍多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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本科毕设正在做多轴机械臂相关的内容，这里是一个学习机械臂运动学课程的相关记录。
如有任何问题，可发邮件至layraliu@foxmail.com问询。
1. 数学基础
文章目录
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- 一、空间位置、姿态描述
- 二、旋转矩阵（Rotation matrix）
- 1.特性
- 2.用法
- 3.旋转矩阵与转角（旋转的前后顺序不能互换）
- 三、变换矩阵
- 1.如何将移动和转动整合在一起
- 2.transformation matrix运算
- 总结
一、空间位置、姿态描述
- 运动学建模分类
正运动学：根据协作机器人的关节角度，计算末端位姿。
逆运动学：已知机器人末端位置，反解其关节角，涉及多解问题。 - 空间某点位置
3 x 1的位置矢量
空间点p=[x0 y0 z0]T（列向量） - 一个刚体的姿态如何描述
平面：移动2 DOFs(degree of freedom)、转动1 DOFs（两个面一个转动，c22=1)
空间：移动3 DOFs(degree of freedom)、转动3 DOFs（两个面一个转动，c32=3)
由上图可知（红色为刚体质心随时间变化的轨迹），刚体的移动由body frame的原点位置判定；刚体的转动由body frame的姿态判定。
利用各个DOF的微分/二次微分，将位移和姿态转换到速度和加速度的运动状态。 - 转动（旋转矩阵）
描述B相对于A的姿态。（觉得湾湾翻译不太一样哈哈哈，其中direct cosines应为direction cosines？我理解就是方向余弦）
那其实也可以很显然的发现，旋转矩阵是一个正交矩阵。其每一列都是单位矩阵，并且两两正交（坐标轴不就是互相垂直的嘛）。
二、旋转矩阵（Rotation matrix）
1.特性
（其实就是正交矩阵的转置亦为其逆）
其实此矩阵的秩=3（阶数），所以转动具有3个DOFs。
2.用法
-
描述一个frame相对于另外一个frame的姿态
-
将point由某个frame的表达，转换到另一个frame。（可以联想一下线代里面有关于基向量那部分的知识，同一个向量在不同坐标系中的表达）
-
将point在同一个frame中进行转换。
3.旋转矩阵与转角（旋转的前后顺序不能互换）
- 两个拆解方式
Fixed angles：对方向固定不动的转轴旋转；
Euler angles：对转动的frame当下所在的转轴方向旋转。 - 把旋转矩阵所表达的姿态，拆解成3次旋转角度需注意：
多次旋转的先后顺序需定义；
旋转转轴需要明确定义。 - 对应于绕x，y，z轴旋转θ角度的位姿变化，对应的旋转矩阵分别为：（逆时针为正方向）
- Fixed angles（按照x——y——z顺序转）
已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
（新变换要左乘）
已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
注意：atan2是一个函数，在C语言里返回的是指方位角，C 语言中atan2的函数原型为 double atan2(double y, double x) ，返回以弧度表示的 y/x 的反正切。y 和 x 的值的符号决定了正确的象限。也可以理解为计算复数 x+yi 的辐角，计算时atan2 比 atan 稳定。
- Euler angles（按照z——y——x顺序转）
（新变换要右乘，其实就是绝对坐标左乘，相对坐标右乘）这样就保证了，虽然Euler和fixed angles变换的转轴不一致，但仍能得到相同的公式。
已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
- Euler/Fixed angles
三次转动共有322=12个拆解方法（只要前后两个不一致即可）
Euler正转和Fixed angles反转是有一致性的。 - Angle-axis表达法
- Quaternion表达法（四元素法）
三、变换矩阵
1.如何将移动和转动整合在一起
Homogenous transformation matrix
（以下为mapping角度）
以下图片为Homogenous transformation matrix的证明：（org为B原点）
并且可以做连乘
（以下为operator角度）
（先转动再移动）
其实可见，移动是加法，转动是乘法。
以下是对两个的理解：
Operators： mapping理解为定位（本身不动，将point由某个frame的表达换到另一个frame来表达），operator理解为变换（本身变了，将point在同一个frame中进行移动和转动）
operator只有一个坐标系，mapping是在二个或多个坐标系。
也就是说对于一个旋转矩阵（我们的本质需求），我们有两种理解方式，一种是线性代数几何应用的Operation，一种是矩阵分析中过渡矩阵的mapping。（来源：）
因为运动是相对的，所以当Homogenous transformation matrix当operator时对向量/点进行移动或转动的操作，也可以想象成是对frame进行反向的。即为point向前/顺时针移，frame往后/逆时针移。
2.transformation matrix运算
-
连续运算
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反矩阵
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连续运算，求未知之相对关系
-
连续运算法则
mapping可以理解为映射，而operator可以理解为变化。
总结
以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了 多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法的学习记录01——数学基础，而Matlab提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。如有任何问题，可发邮件至layraliu@foxmail.com问询。
这篇关于多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
