代码随想录算法训练营三刷day42 | 动态规划之背包问题 416. 分割等和子集

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三刷day42

      • 416. 分割等和子集
        • 确定dp数组以及下标的含义
        • 确定递推公式
        • dp数组如何初始化
        • 确定遍历顺序
        • 举例推导dp数组

416. 分割等和子集

题目链接
解题思路: 这是一维的背包问题
只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。
    以上分析完,我们就可以套用01背包,来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下:

确定dp数组以及下标的含义

01背包中,dp[j] 表示: 容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量,也是价值。

套到本题,dp[j]表示 背包总容量(所能装的总重量)是j,放进物品后,背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target, dp[target]就是装满 背包之后的重量,所以 当 dp[target] == target 的时候,背包就装满了。

有录友可能想,那还有装不满的时候?

拿输入数组 [1, 5, 11, 5],举例, dp[7] 只能等于 6,因为 只能放进 1 和 5。

而dp[6] 就可以等于6了,放进1 和 5,那么dp[6] == 6,说明背包装满了。

确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题,相当于背包里放入数值,那么物品i的重量是nums[i],其价值也是nums[i]。

所以递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

dp数组如何初始化

在01背包,一维dp如何初始化,已经讲过,

从dp[j]的定义来看,首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了,如果题目给的价值有负数,那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值,而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组,所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下:

// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!

代码如下:

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}
举例推导dp数组

dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明,集合中的子集总和正好可以凑成总和j,理解这一点很重要。

用例1,输入[1,5,11,5] 为例,如图:

416.分割等和子集2
最后dp[11] == 11,说明可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

C++代码如下:

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target) return true;return false;}
};

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