Leetcode70——爬楼梯（斐波那契类型）（C语言）（通过该问题讲解动态规划基本思想）

本文主要是介绍Leetcode70——爬楼梯（斐波那契类型）（C语言）（通过该问题讲解动态规划基本思想），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

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动态规划的基本思想：

爬楼梯题目讲解：

解法1（递归）：

解法2（记忆化递归）：

解法3（Fibonacci数列的动态规划算法）：

总结：

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原题链接：70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

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动态规划的基本思想：

        动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种算法设计技术，它通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决优化问题。动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。
        动态规划的基本思路可以概括为以下几个步骤：
                1. 定义状态：首先，需要定义问题中的状态。状态是指在特定步骤或阶段的问题的某种描述。通常，状态可以用一个或多个变量来表示，并且状态之间存在依赖关系。
                2. 状态转移方程：其次，确定状态转移方程，也称为递推关系。这个方程描述了状态如何从之前的某个状态或多个状态转移而来。在形式上，这个方程通常表示为 `dp[i] = f(dp[i-1], dp[i-2], ...)`，其中 `dp[i]` 是到达第 `i` 个状态的方法数或成本，而 `f` 是一个关于前状态的函数。
                3. 边界条件：确定初始状态或边界条件。这些是问题的基础情况，通常可以直接计算得到，或者由问题的性质直接给出。
                4. 计算顺序：确定状态的计算顺序。通常，状态的计算顺序应该能够充分利用之前计算的结果，避免重复计算。
                5. 构建DP表：根据状态转移方程和边界条件，构建一个DP表（或数组），并按顺序填充表中的每个状态。
                6. 输出结果：最后，根据DP表中的最终状态输出结果。

        动态规划的关键优点是它能够显著减少计算复杂度，将指数级问题转化为多项式级问题。这主要是因为动态规划避免了重复计算相同的状态，而是利用已计算的状态结果。

        动态规划适用于具有最优子结构特性的问题，即一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。此外，动态规划也适用于具有重叠子问题的问题，即在求解问题的过程中，相同的子问题会被多次计算。通过存储这些子问题的解，动态规划可以有效地减少计算量。

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爬楼梯题目讲解：

        Fibonacci（斐波那契）数列问题，它是一个简单而典型的分治问题，Fibonacci数列的递归方程表示为：

        F(n) = F(n-1) + F(n-2)；

        其中，F(n) 表示数列的第n项，F(n-1) 表示数列的第n-1项，F(n-2) 表示数列的第n-2项。

        注意，这个递归方程是从第三项开始的，因为前两项有明确的定义：

        F(0) = 0 ；

        F(1) = 1。

解法1（递归）：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int climbStairs(int n) {if (n < 0) return 0;if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
int main() {int n;printf("输入台阶数>");scanf("%d", &n);printf("有%d种方法可以爬到楼顶。", climbStairs(n));return 0;
}

        该程序实现简单，但非常低效。以求解该题目不难发现，在递归调用过程中，每次产生的子问题并不是新问题，有些子问题被反复计算多次，比如climbStairs（3）调用了两次，climbStairs（2）调用了三次，这种现象被称为 重叠子问题。

        当输入参数n较大时，其重复计算的子问题数目将爆照式增长，最终需要计算的子问题个数（或者递归调用次数）将增长为指数级。

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那么该如何减少实际求解的子问题的数目呢？

        如果用一个数组保存已解决的子问题的答案，而在需要时再从该数组中查找已经求解的子问题的答案，这样就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式复杂性算法。这就是动态规划的基本思路。

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        记忆化（缓存）：由于递归会多次计算相同的子问题，这会导致大量的重复计算，特别是在 n 较大时。为了避免重复计算，我们可以使用一个数组 arr 来存储已经计算过的结果。如果 arr[n] 已经被计算过，就直接返回它的值，否则就计算它并存储起来。

解法2（记忆化递归）：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int arr[10];int climbStairs(int n) {int tmp;if (n < 0) {return 0;}else if (arr[n] != 0) {return arr[n];}else {tmp = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);return tmp;}
}int main() {int n, i;for (i = 0; i < 50; i++) {arr[i] = 0;}arr[1] = 1;arr[2] = 2;printf("输入台阶数>");scanf("%d", &n);printf("有%d种方法可以爬到楼顶。", climbStairs(n));return 0;
}

解法3（Fibonacci数列的动态规划算法）：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <stdio.h>
#include <malloc.h>// 动态规划解决爬楼梯问题
int climbStairs(int n) {if (n <= 2) {return n;}int* dp = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}int result = dp[n];free(dp); // 释放分配的内存return result;
}int main() {int n;printf("输入台阶数： ");scanf("%d", &n);printf("有 %d 种方法可以爬到楼顶。\n", climbStairs(n));return 0;
}

        该代码基本思路是：要到达第 `n` 阶，你可以从第 `n-1` 阶爬 1 阶上来，或者从第 `n-2` 阶爬 2 阶上来。因此，到达第 `n` 阶的方法数等于到达第 `n-1` 阶和第 `n-2` 阶方法数的和。

动态规划的步骤如下：
        1. 初始化：首先，我们需要定义一个数组 `dp` 来存储到达每一阶楼梯的方法数。由于到达第一阶和第二阶的方法数是固定的，我们可以直接初始化 `dp[1] = 1` 和 `dp[2] = 2`。
        2. 递推计算：然后，我们从第三阶开始，逐个计算到达每一阶的方法数。对于每一阶 `i`（`i` 从 3 开始到 `n`），它的方法数 `dp[i]` 等于前两阶方法数的和，即 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]`。
        3. 输出结果：最后，当计算完所有阶数后，`dp[n]` 就是到达楼顶的方法数。我们将这个值输出即可。
        在代码中，我们使用了一个循环来逐阶计算方法数，并在循环结束后返回 `dp[n]` 的值。在主函数中，我们接收用户输入的楼梯阶数 `n`，并调用 `climbStairs` 函数来计算并输出结果。
        注意，我们使用了 `malloc` 来动态分配内存，这是因为我们在编译时不知道 `n` 的值，因此不能使用静态数组。在使用完动态分配的内存后，我们使用 `free` 函数来释放内存，这是一个良好的编程习惯，可以防止内存泄露。

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总结：

        Fibonacci数列的例子可以得到，动态规划的关键在于解决重叠子问题的重复计算，将原来指数级复杂度的分治算法改进多项式级的计算。

        在实现过程中，动态规划算法需要存储各子问题的解，所以它的空间复杂度大于其他算法，这是一种空间换时间的策略。

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