DMP(Dynamic Movement Primitives)动态运动基元算法收敛性证明

本文主要是介绍DMP(Dynamic Movement Primitives)动态运动基元算法收敛性证明,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一、背景知识

DMP作为轨迹生成方法的一种,具有诸多优势,如弹簧阻尼二阶系统保证了他可以收敛到目标点,且具有良好的时间和空间上的泛化能力。我最近一直在想为什么该系统可以保证运动轨迹收敛到目标点 g g g,后来看了码农家园的博客以及对照论文中的内容有了一定的理解,下面给出DMP算法详细的收敛性证明。

二、从微分方程的角度出发

利用本科阶段学到的高等数学知识,我们先求解一个微分方程:
f ˙ = a f + b (1) \begin{aligned} \dot f=af+b \\ \end{aligned}\tag{1} f˙=af+b(1)

通过高数第七章的知识,我们知道形如 y ˙ + P ( x ) y = Q ( x ) \dot y+P(x)y=Q(x) y˙+P(x)y=Q(x) 的通解为:

y = ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + c ) e − ∫ P ( x ) d x \begin{aligned} y=\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x+c\right) e^{-\int P(x) d x} \\ \end{aligned} y=(Q(x)eP(x)dxdx+c)eP(x)dx
小Tip:很多人记不住这个公式,其实也不用记,只要知道去哪里查就行了,但还是说个记住这个公式的技巧吧,QP-P(扣皮掉皮,言外之意家里的墙皮,你只要扣就掉皮),Q表示Q(x),P表示P(x),因为大家记不住的是Q和P的位置。

因此,公式1中的 P ( t ) = − a P(t)=-a P(t)=a Q ( t ) = b Q(t)=b Q(t)=b

很容易求得公式1的解为:
f = c e a t − b a (2) \begin{aligned} f=ce^{at}-{b \over a} \\ \end{aligned}\tag{2} f=ceatab(2)

这里, c c c是一个常数,我们从解中可以看到,当 a < 0 a<0 a<0时,随着时间 t t t趋向于无穷, f f f趋向于 − b a -{b \over a} ab

三、DMP收敛性证明

接下来我们看DMP的核心公式:
y ¨ = α y ( β y ( g − y ) − y ˙ ) (3) \begin{aligned} \ddot y =\alpha_{y}(\beta_{y}(g-y)-\dot y) \\ \end{aligned}\tag{3} y¨=αy(βy(gy)y˙)(3)

为了分析方便,我们先略去下标,并将系数乘进去,整理后得到:
y ¨ = a ( g − y ) − b y ˙ (4) \begin{aligned} \ddot y =a(g-y)-b\dot y \\ \end{aligned}\tag{4} y¨=a(gy)by˙(4)
设状态变量为 ( y , y ˙ ) T (y,\dot y)^{T} (y,y˙)T,写成矩阵的形式为:
( y ˙ y ¨ ) = ( 0 1 − a − b ) ⋅ ( y y ˙ ) + ( 0 a g ) (5) \begin{aligned} \left(\begin{array}{l} \dot{y} \\ \ddot{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a & -b \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ a g \end{array}\right) \end{aligned}\tag{5} (y˙y¨)=(0a1b)(yy˙)+(0ag)(5)
有没有很眼熟,是不是状态空间方程的样子!!!我们发现公式5和公式1是一样的,为了保证(5)的收敛性,我们需要(5)中系数矩阵的配置极点小于0,这可以通过选取合适的a,b值来做到.当该方程收敛时,我们类比(2)式,随着时间的推移,该方程将收敛到
− ( 0 1 − a − b ) − 1 ⋅ ( 0 a g ) = ( g 0 ) (6) \begin{aligned} -\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a & -b \end{array}\right)^{-1} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ a g \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} g \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned}\tag{6} (0a1b)1(0ag)=(g0)(6)
也就是状态变量最后收敛到我们的目标g上,即最后到达目标点,以上的分析保证了一点:那就是采用该系统过程的DMP算法保证了最后必然会收敛到目标点.(公式6作为解是没问题的,我已验证。矩阵的逆大家如果忘记了就去查下线性代数,矩阵A的逆等于矩阵A的伴随除以A的行列式。伴随矩阵:伴随矩阵第i行第j列元素是原矩阵的第j行第i列的代数余子式,看了例子就明白了。)

根据论文Robot Learning System Based on Adaptive Neural Control and Dynamic Movement Primitives,这里参数a,b可以选择为25和10,此时方程5的状态矩阵的特征值为两个相同的负实根-5,根据现代控制中的知识,我们可以知道如果状态矩阵的特征值都为负(对应于传递函数中极点,极点全为负,系统稳定)系统是稳定的

在这里插入图片描述

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