MIMO信道容量推导（奇异值分解法）

本文主要是介绍MIMO信道容量推导（奇异值分解法），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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（奇异值分解法）
Massive MIMO，目前是5G的一项关键技术。那么求解它的信道容量，对于我们研究它的属性尤为重要。今天，我们就求算一下信道容量。
在通信系统中我们学到信道容量的一个计算式：
$$C=Blo{g}_2(1+SNR)$$
其中$B$是带宽，$SNR$是信噪比，$C$是信道容量。
那么其实我们就是需要求解$SNR$。
假设M个接收天线，N个发送天线，那么MIMO模型的表达式如下：
$$\text{y}=\text{H}\text{x}+\text{n}$$
其中，$\text{y}$是$M\times 1$输出的信息，$\text{H}$是一个只能被接收机感知的$M\times N$矩阵，$\text{x}$是输入信息的$N\times 1$列向量，$\text{n}$是AWGN噪声组成的$M\times 1$列向量。

先了解一下奇异值分解（SVD）：
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。那么我们定义矩阵H的SVD为：
$$\text{H}=\text{U}\text{D}{\text{V}}^H$$
其中$\text{U}$是一个$M\times M$的矩阵，$\text{D}$是一个$M\times N$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， $\text{V}$是一个$N\times N$的矩阵。$\text{U}$和$\text{V}$都是酉矩阵，即满足：
$$\text{I}={\text{X}}^T\text{X}$$

那么，考虑使用奇异值分解法处理$\text{H}$矩阵，得到：
$$\text{H}=\text{U}\text{D}{\text{V}}^H$$
$$\text{y}=\text{U}\text{D}{\text{V}}^H\text{x}+\text{n}$$
$${\text{U}}^H(\text{y}-\text{n})=\text{D}{\text{V}}^H\text{x}$$
令：$\hat{\text{y}}={\text{U}}^H\text{y}$，$\hat{\text{x}}={\text{V}}^H\text{x}$，$\hat{\text{n}}={\text{U}}^H\text{n}$。
则有，
$$\hat{\text{y}}=\text{D}\hat{\text{x}}+\hat{\text{n}}$$
令奇异值为$\sqrt{{\lambda }_i}$，最多$rank(\text{H})=\min (M,N)$个非零奇异值，那么接收信号为：
$${\hat{y}}_i=\sqrt{{\lambda }_i}{\hat{x}}_i+{\hat{n}}_i,i=1,2,...,rank$$$${\hat{y}}_i={\hat{n}}_i,i=rank+1,...,M$$
由上述可知，MIMO其实是rank个平行的等效子信道组成的。幅度增益就是奇异值，那么单个信道的信噪比就是$\frac{p_i}{{\sigma }^2}$，其中信息功率为平均下来每个天线的接收功率，即$p_i=\frac{P_T}{M}$，而后对单个信道进行叠加，得到：
$$C=B{\log }_2\prod _{i=1}^{rank}\left(1+\frac{{\lambda }_i{P}_T}{M{\sigma }^2}\right)$$
即最终MIMO的信道容量。

这篇关于MIMO信道容量推导（奇异值分解法）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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