对极约束及其性质 —— 公式详细推导

本文主要是介绍对极约束及其性质 —— 公式详细推导，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Title: 对极约束及其性质 —— 公式详细推导

文章目录

前言
1. 对极约束 (Epipolar Constraint)
2. 坐标转换 (Coordinate Transformations)
3. 像素坐标 (Pixel Coordinates)
4. 像素坐标转换 (Transformations of Pixel Coordinates)
5. 本质矩阵 (Essential Matrix)
6. 线坐标 (Coordinates of a Line)
7. 对极线 (Epipolar Lines)
8. 对极线的线坐标 (Coordinates of Epipolar Lines)
9. 本质矩阵的零空间 (Null Space of a Essential Matrix)
10. 本质矩阵的奇异值 (Singular Values of a Essential Matrix)
总结
参考文献

前言

参考学习资料 [1] (Carlo Tomasi, Epipolar Geometry and the Essential Matrix) 过程中, 对其坐标系描述存在疑问, 尝试自己推导了一下, 也补充了一些其他性质的推导.

形成了这篇博文, 以备忘.

1. 对极约束 (Epipolar Constraint)

对极几何就是描述两个相机之间的对极约束的几何^[1], 如 Fig. 1 所示.

epipolar_geometry_drawing

Fig. 1 对极约束示意图

相机 a 其小孔成像 (中心投影) 的光心是 $O_a$ , 焦距是 $f$ . 相机获得图像 $I_a$ , 图像中有像素点 ${\rm{P}}_a$ . 沿着射线 $\overline{O_aP}$ 进行反向投影, 可知像素点 ${\rm P}_a$ 对应的物理世界中的场景点 $\rm P$ 在投影线上.

另一相机 b 与相机 a 具有相同的相机内参 (可能就是同一相机的不同位姿), 两者之间的相互位姿关系是 ${t, R\}$ . 同一场景点 $\rm P$ 也会在相机 b 的图像 $I_b$ 上成像为像素点 ${\rm P}_b$ .

因为从相机 a 视角还原的像素点 ${\rm P}_a$ 对应的物理世界场景点可能是 $\rm P$ 、 ${\rm P'}$ 或 ${\rm P''}$ 等, 只要在射线 $\overline{O_a P_a}$ 上都可能是. 而这些可能的场景点 $\rm P$ 、 ${\rm P'}$ 或 ${\rm P''}$ 在相机 b 上作投影成像可能获得的像素点却是 ${\rm P}_b$ 、 ${\rm P}_b'$ 或 ${\rm P}_b''$ 这些不同位置的像素点.

因为像素点 ${\rm P}_a$ 和这些可能的像素点 ${\rm P}_b$ 、 ${\rm P}_b'$ 或 ${\rm P}_b''$ 都是对同一物理世界场景点 $\rm P$ 的投影成像, 那么他们之间成在什么样的关系? 如何预测第二个相机上对应像素点位置? 这些就是对极约束要关注的.

2. 坐标转换 (Coordinate Transformations)

基于小孔成像模型的相机遵循中心射影原理, 射影中心在相机光心. 以相机光心作为坐标原点建立坐标系, Z 轴指向场景, X 轴向右, Y 轴向下.

有了相机坐标系后, 首先要面对同一场景点在两个相机坐标系中的坐标转换问题^[2], 如 Fig. 2 所示.

Fig. 2 坐标转换示意图

相机坐标系 {a} 和 {b} 原点不重合并且姿态也不同.

$^at_b$ 表示坐标系 {b} 的原点在坐标系 {a} 中的位置, ${^aR}_b$ 表示坐标系 {b} 相对于坐标系 {a} 的姿态.

相反地, $^bt_a$ 表示坐标系 {a} 的原点在坐标系 {b} 中的位置, ${^bR}_a$ 表示坐标系 {a} 相对于坐标系 {b} 的姿态.

为方便理解可以构造过渡坐标系 {b’}, 在坐标系 {a} 中平移 $^at_b$ 得到坐标系 {b’}, 在坐标系 {b’} 中旋转 $^{b'}R_b$ 得到坐标系 {b}.

坐标系 {b’} 和 {b} 的原点重合, 故平移矩阵 $^at_b = {^at_{b'}}$ .

坐标系 {a} 和 {b’} 的姿态相同, 故旋转矩阵 $^{b'}R_b = {^aR}_b$ .

空间中一点 P, 相对于坐标系 {a} 的坐标为 $^ap$ , 而同一点 P 相对于坐标系 {b} 的坐标为 $^bp$ .

根据刚体坐标变换关系可以得到
$\begin{aligned} {^{a}p} &= {^{b'}R}_b {{^b}p}+{{^a}t_{b'}}\\ \Rightarrow \quad {^{a}p} &= {^{a}R}_b {{^b}p}+{{^a}t_b}\\ \Rightarrow \quad {^{b}p} &= {^{a}R}_b^{\rm{T}}\left({{^a}p}-{{^a}t_b}\right)\\ \Rightarrow \quad {^{b}p} &= {^{b}R}_a{{^a}p}- {^{b}R}_a {{^a}t_b} \end{aligned} \tag{2-1}$

另外, 因为坐标系 {a} 和坐标系 {b’} 姿态相同, 故有
${^{b'}}t_a = - {^at_{b'}} \tag{2-2}$
已知坐标系 {b’} 中向量 ${^{b'}}t_a$ , 下面需要将其转换为坐标系 {b} 中描述 ${^bt_a}$ . 也就是同一向量, 只是描述该向量的参考坐标系改变.

类比刚体坐标变换关系式 (2-1) 中第二行得到
${^{b'}}t_a ={^{b'}}R_b {^bt_a} + \underset{=0}{\underbrace{{^{b'}}t_b}}\\ \Rightarrow \qquad - {^at_{b'}} = {^{b'}}R_b {^bt_a}\\ \Rightarrow \qquad - {^at_{b}} = {^{a}}R_b {^bt_a}\\ \Rightarrow \qquad {^bt_a} = - {^{a}}R_b^{\rm T} {^at_{b}}\\ \Rightarrow \qquad {^bt_a} = - {^{b}}R_a {^at_{b}} \tag{2-3}$
结合式 (2-1) 和式 (2-3) 可得
$^{b}p = {^{b}R}_a{{^a}p} + {^bt_a} \tag{2-4}$
为了简化书写, 定义
$\begin{aligned} R & \triangleq {^{b}R}_a = {^{a}R}_b^{\rm{T}}\\ t & \triangleq {^bt_a} = - {^{b}R}_a {{^a}t_b} \end{aligned}\tag{2-5}$
则式 (2-4) 简写为
$^{b}p = R \,{{^a}p}+{t} \tag{2-6}$
因为习惯上都是由 $^ap$ 而计算得到 $^bp$ , 故而写成式 (2-6) 形式.

3. 像素坐标 (Pixel Coordinates)

场景空间中一点 P 向相机 a 投影得到的像素点 $\rm{P_a}$ , 在二维成像平面 $I_a$ 上的坐标为
$P_a = \begin{bmatrix}x_a \\ y_a \end{bmatrix} \tag{3-1}$
因为对极几何需要在三维空间中推导, 把该像素点 ${\rm P}_a$ 看作是一个实体点, 其在相机坐标系 {a} 中的三维坐标为
$^ap_a = \begin{bmatrix}x_a\\ y_a \\ f\end{bmatrix} \tag{3-2}$
其中 $f$ 为焦距 ( $\neq 0$ ).

同理, 场景空间中一点 P 向相机 b 投影得到的像素点 ${\rm P}_b$ , 在二维成像平面 $I_b$ 上的坐标为
$P_b = \begin{bmatrix}x_b \\ y_b \end{bmatrix} \tag{3-3}$
把该像素点 ${\rm P}_b$ 看作是一个实体点, 其在相机坐标系 {b} 中的三维坐标为
$^bp_b = \begin{bmatrix}x_b\\ y_b \\ f\end{bmatrix} \tag{3-4}$
由射影关系可以知道, 坐标值 $x_{a},y_{a}, x_{b}, y_{b}$ 受到 $f$ 的正比例影响, 故而像素点在各自相机坐标系内的三维坐标其实也是齐次坐标.

4. 像素坐标转换 (Transformations of Pixel Coordinates)

在对极约束中投影线 $\overline{O_a P}$ 、投影线 $\overline{O_bP}$ 和基线 $\overline{O_a O_b}$ 共面. 则可知

向量 $\overrightarrow{O_a P_a}$ 、向量 $\overrightarrow{O_a P_b}$ 、向量 $\overrightarrow{O_a O_b}$ 共面;

向量 $\overrightarrow{O_b P_b}$ 、向量 $\overrightarrow{O_b P_a}$ 、向量 $\overrightarrow{O_b O_a}$ 共面.

进一步, 可知

$(\overrightarrow{O_a O_b} \times \overrightarrow{O_a P_a}) \, \bot \, \overrightarrow{O_a P_b}$ 以及 $(\overrightarrow{O_b O_a} \times \overrightarrow{O_b P_a}) \, \bot \, \overrightarrow{O_b P_b}$ .

以上向量需要借助于相机光心和像素点构建, 并且向量运算需要在相同的参考坐标系下进行.

因为这些向量都以相机坐标系原点为起始点, 只需转换向量末端点到相应相机坐标系中.

	在第一个相机坐标系 {a} 中描述	在第二个相机坐标系 {b} 中描述
像素点 ${\rm P}_a$	${^ap_a}$	${^bp_a} = {R}\, {^ap_a} + t$
像素点 ${\rm P}_b$	${^ap_b} = {^aR_b}\, {^bp_b}+{^a t_b} = R^{\rm T} \, {^b p_b} +{^a t_b}$	${^b p_b}$
{a} 与 {b} 相对位置	${^at_b} = -{^aR_b} \, t = -R^{\rm T}\, t$	${^bt_a} = t$

下面我们参考之前博文提前推导 $[R^{\rm T}t]_{\times}$ .

假设任意三维向量 $v$ , 则
$\begin{aligned}[c] [R^{\rm T}t]_{\times} v & = (R^{\rm T}t) {\times} v\\ & = (R^{\rm T}t) {\times} (R^{\rm T} R v)\\ & = R^{\rm T} (t \times R v)\\ & = R^{\rm T} ([t]_\times R v)\\ & = R^{\rm T} [t]_\times R v\\ \end{aligned} \tag{4-1}$
因为对任意 $v$ 成立, 故有
$[R^{\rm T}t]_{\times} = R^{\rm T} [t]_{\times} R \tag{4-2}$

5. 本质矩阵 (Essential Matrix)

在第一个相机坐标系 {a} 中, 因为对极约束的共面关系 $(\overrightarrow{O_a O_b} \times \overrightarrow{O_a P_a}) \, \bot \, \overrightarrow{O_a P_b}$ , 可知
$\begin{aligned} & ^ap_b \cdot (^at_b\times {^ap_a}) = 0 \\ \Rightarrow\qquad & (R^{\rm T} \, {^b p_b} +{^a t_b}) \cdot (^at_b\times {^ap_a}) = 0 \\ \Rightarrow\qquad & (R^{\rm T} \, {^b p_b}) \cdot (^at_b\times {^ap_a}) + \underset{=0}{\underbrace{{^a t_b} \cdot (^at_b\times {^ap_a})}} = 0 \\ \Rightarrow\qquad& {^bp_b^{\rm T}} R\, ([R^{\rm T} t]_\times {^ap_a}) = 0\\ \Rightarrow\qquad& {^bp_b^{\rm T}}\, R\, (R^{\rm T} [t]_{\times} R\, {^ap_a}) = 0\\ \Rightarrow\qquad& {^bp_b^{\rm T}}\, [t]_{\times} R\, {^ap_a} = 0 \end{aligned} \tag{5-1}$
同样地, 在第二个相机坐标系 {b} 中, 因为对极约束的共面关系 $(\overrightarrow{O_b O_a} \times \overrightarrow{O_b P_a}) \, \bot \, \overrightarrow{O_b P_b}$ , 可知
$\begin{aligned} & ^bp_b \cdot (t\times {^bp_a}) = 0\\ \Rightarrow \qquad & ^bp_b \cdot \left(t\times ({R}\, {^ap_a} + t)\right) = 0\\ \Rightarrow \qquad & ^bp_b \cdot \left(t\times ({R}\, {^ap_a})\right) = 0\\ \Rightarrow \qquad & ^bp_b^{\rm T} \, ([t]_\times R \,{^ap_a}) = 0\\ \Rightarrow \qquad & ^bp_b^{\rm T} \, [t]_\times R \,{^ap_a} = 0\\ \end{aligned} \tag{5-2}$
相同的共面约束, 在不同坐标系下推导, 得到了相同的方程式 (I-5-1) 和式 (I-5-2).

定义本质矩阵
$=[t]_{\times} R \tag{5-3}$
则对极约束方程为
$^bp_b^{\rm T} \,E\, {^ap_a} = 0 \tag{5-4}$
该方程描述了同一场景点在不同相机坐标系下得到两个对应像素点的投影约束关系 —— 共平面关系 (Coplanarity).

默认像素点三维坐标在各自相机坐标系内描述, 对极约束方程进一步简写为
$p_b^{\rm T} \,E\, {p_a} = 0 \tag{5-5}$

6. 线坐标 (Coordinates of a Line)

图像平面 $I_a$ 上像素点 ${\rm P}_a$ 在相机坐标系 {a} 中的三维坐标
$^ap_a = \begin{bmatrix}x_a\\ y_a \\ f\end{bmatrix} \tag{6-1}$
可以看做是二维的射影平面 $I_a$ 上的齐次坐标.

二维的射影平面上, 经过点 $^ap_a$ 的直线方程可以表示为
$l_1 x_a +l_2 y_a +l_3 f =0 \tag{6-2}$
矢量
$\begin{bmatrix} l_1\\ l_2\\ l_3\end{bmatrix} \in (\mathbb{R}^3 \setminus \mathbf{0}) \tag{6-3}$
被称为直线的线坐标 (满足 $l_1, l_2, l_3$ 不同时为零). 比例因子 $\neq 0$ 时, 矢量 $l$ 和矢量 $k l$ 代表同一条直线.

进一步, 经过点 $^ap_a$ 的二维直线方程简写为
$\cdot {^ap_a} = 0 \tag{6-4}$

此处 $^ap_a$ 看作二维图像平面 $I_a$ 上的齐次坐标, 不是相机坐标系中的三维空间坐标.

7. 对极线 (Epipolar Lines)

如对极线示意图 Fig. 3 所示, 相机 a 与相机 b 光心的连线 $\overline{O_a O_b}$ 称为基线, 基线 $\overline{O_a O_b}$ 与场景中一点 ${\rm P}$ 构成了对极平面 $\pi$ . 如果相机 a 和 b 在空间中的位姿固定, 而场景点改变为 $Q$ , 此时基线不变仍为 $\overline{O_a O_b}$ , 而新的对极平面为 $\pi_Q$ . 直观效果像是场景点牵着对极平面在绕基线转动.

基线与两个相机的成像平面的交点形成两个对极点. 基线 $\overline{O_a O_b}$ 与相机 a 的成像平面 $I_a$ 相交的对极点为 $^ae_b$ , 看作是相机 b 的光心 $O_b$ 在相机 a 成像平面上的投影成像. 基线 $\overline{O_a O_b}$ 与相机 b 的成像平面 $I_b$ 相交的对极点为 $^be_a$ , 看作是相机 a 的光心 $O_a$ 在相机 b 成像平面上的投影成像. 如果相机 a 和 b 在空间中的位姿固定, 则形成的两个对极点也固定不变.

对极平面与两个相机的成像平面的相交形成两条对极线. 对极平面 $\pi$ 与相机 a 的成像平面 $I_a$ 相交的对极线为 $\overline{P_a {^ae_b}}$ , 极线经过对极点 $^ae_b$ 及场景点 $P$ 在相机 a 成像平面上的投影点 ${\rm P}_a$ . 对极平面 $\pi$ 与相机 b 的成像平面 $I_b$ 相交的对极线为 $\overline{P_b {^be_a}}$ , 极线经过对极点 $^be_a$ 及场景点 $P$ 在相机 b 成像平面上的投影点 ${\rm P}_b$ . 对极线都经过成像平面上的对极点.

已知相机 a 中像素点/投影点 ${\rm P}_a$ , 在未知场景点 $\rm P$ 确切位置的情况下, 根据射影关系, 只能猜测可能的场景点在反向投影线上, 可能为 ${\rm P}''$ 、 ${\rm P}'$ 或 $\rm P$ 等无穷多种情况之一. 那么像素点 ${\rm P}_a$ 对应的在相机 b 中的可能投影点/像素点为 ${\rm P}_b$ 、 ${\rm P}_b'$ 或 ${\rm P}_b''$ 等. 虽然成像平面 $I_b$ 上对应像素点是不确定的且有无穷多种可能性, 但这些候选点都在同一条直线上, 这条直线就是对极线. 利用对极线可以大大减小双目图像匹配的搜索空间, 不然需要在相机 b 成像平面 $I_b$ 全域搜索以匹配相机 a 上的一个像素点 ${\rm P}_a$ .

不同的场景点会改变成像平面内的像素点. 如场景点 $\rm P$ 在两个相机内成像点为 ${\rm P}_a$ 和 ${\rm P}_b$ , 而场景点 $\rm Q$ 在两个相机内成像点为 ${\rm Q}_a$ 和 ${\rm Q}_b$ . 那么对应的对极线也将改变. 但是两个相机位姿确定的情况下 (在世界坐标系中位姿固定), 两个对极点 $^ae_b$ 和 $^be_a$ 的位置确定, 同时成像平面内的对极线必然经过该平面内的对极点. 所以不同的场景点在同一相机成像平面内形成了经过对极点的对极线束.

Fig. 3 对极线示意图

8. 对极线的线坐标 (Coordinates of Epipolar Lines)

由对极约束方程 (5-5), 我们定义
$E\, {^ap_a} \tag{8-1}$
将 $l^{'}$ 视为线坐标. 由式 (5-5) 可知
$(E\, {^ap_a})\cdot {^bp_b} = 0 \tag{8-2}$
得到 $l^{'}$ 经过 $^bp_b$ .

虽然对极点 $^be_a$ 的坐标未知, 但是可以知道与 $t$ 成正比, 即
$^be_a = \kappa\, t \tag{8-3}$
代入
$\begin{aligned} (E\, {^ap_a})\cdot {^be_a} &= \kappa \, t \cdot (E\, {^ap_a}) \\ &=\kappa \, t \cdot ([t]_{\times} R\, {^ap_a} ) \\ &=\kappa \, t \cdot (\underset{\bot t}{\underbrace{t\times (R \, {^ap_a})}} )\\ &= 0 \end{aligned} \tag{8-4}$
得到 $l^{'}$ 经过 $^be_a$ .

既经过像素点 $^bp_b$ 又经过对极点 $^be_a$ , 所以 $l' = E\, {^ap_a}$ 是相机 b 成像平面 $I_b$ 内的对极线的线坐标.

默认像素点在各自相机坐标系内描述, 可简写为
$E\, {p_a} \tag{8-5}$
类似地, 由对极约束方程 (5-5) 定义
$E^{\rm T}\, {^bp_b} \tag{8-6}$
由式 (5-5) 推导
$\cdot {^ap_a} = \left(E^{\rm T}\, {^bp_b}\right)^{\rm T} {^ap_a} = {^bp_b^{\rm T}}\, E \, {^ap_a} = 0 \tag{8-7}$
得到 $l$ 经过 $^ap_a$ .

对极点 $^ae_b$ 在相机 a 内的坐标向量与 $^at_b$ 成正比,
${^ae_b} = \kappa' \, {^at_b} =- \kappa' \, R^{\rm T}\, t \tag{8-8}$
代入计算
$\begin{aligned} l\cdot {^ae_b} &= - \kappa' \left( E^{\rm T}\, {^bp_b} \right)^{\rm T} R^{\rm T}\, t \\ &= - \kappa' {^bp_b^{\rm T}} E R^{\rm T}\, t \\ &= - \kappa' {^bp_b^{\rm T}} \underset{=E}{\underbrace{[t]_{\times} R}} R^{\rm T}\, t \\ &= - \kappa' {^bp_b^{\rm T}} \underset{=0}{\underbrace{[t]_{\times} \, t}} \\ & = 0 \end{aligned} \tag{8-9}$
得到 $l$ 经过 $^ae_b$ .

既经过像素点 $^ap_a$ 又经过对极点 $^ae_b$ , 所以 $E^{\rm T}\, {^bp_b}$ 是相机 a 成像平面 $I_a$ 内的对极线的线坐标.

默认像素点在各自相机坐标系内描述, 可简写为
$E^{\rm T}\, {p_b} \tag{8-10}$

9. 本质矩阵的零空间 (Null Space of a Essential Matrix)

[性质 1] 当 $t\neq [0,0,0]^{\rm T}$ 时, 本质矩阵 $E$ 的秩为 2, 即
${\rm rank}(E)=2 \tag{9-1}$

[性质 2] 对极点向量 $^ae_b$ 张成的一维空间是本质矩阵 $E$ 的零空间.

[性质 3] 对极点向量 $^be_a$ 张成的一维空间是本质矩阵 $E$ 的左零空间.

[性质 1] 的说明:
$\det(E) =\det([t]_{\times} R)= \underset{=0}{\underbrace{\det([t]_\times)}} \,\underset{=1}{\underbrace{\det(R)}} = 0 \tag{9-2}$
可知本质矩阵 $E$ 是退化的.

又因为 ${\rm rank}([t]_{\times})=2$ 且 $R$ 为旋转矩阵可逆, 故 ${\rm rank}(E)={\rm rank}([t]_{\times}R) = 2$ .

[性质 2] 的说明:

由式 (8-9) 可知, 相机 a 成像平面 $I_a$ 内的对极线 $l$ 满足
$\cdot {^ae_b} = \left(E^{\rm T}\, {^bp_b}\right) \cdot {^ae_b} = 0 \\ \Rightarrow \qquad {^bp_b^{\rm T}}\, (E \,{^ae_b}) = 0 \tag{9-3}$
我们已知只要两个相机的在世界坐标系中的位姿固定, 不管场景点 $\rm P$ 及其投影点 $^ap_a$ 和 $^bp_b$ 如何变化, 相机 a 成像平面内的对极线 $l$ 都经过对极点 $^ae_b$ . 所以 $^bp_b$ 可以任意变换, 上式总成立. 故有

$\,{^ae_b} = 0 \tag{9-4}$
说明了 “对极点向量 $^ae_b$ 张成的一维空间是本质矩阵 $E$ 的零空间”.

[性质 3] 的说明:

同理, 由式 (8-4) 可知, 相机 b 成像平面 $I_b$ 内的对极线 $l^{'}$ 满足
$(E\, {^ap_a})\cdot {^be_a} = 0 \\ \Rightarrow\qquad {^ap_a^{\rm T}}\, (E^{\rm T}\, {^be_a}) = 0 \tag{9-5}$
只要两个相机的在世界坐标系中的位姿固定, $^ap_a$ 任意变化, 对极线总经过对极点, 上式总成立. 故有
$E^{\rm T}\, {^be_a} = 0 \tag{9-6}$
说明了 “对极点向量 $^be_a$ 张成的一维空间是本质矩阵 $E$ 的左零空间”.

10. 本质矩阵的奇异值 (Singular Values of a Essential Matrix)

[性质 4] 本质矩阵 $E$ 具有两个相等的非零奇异值, 以及一个零奇异值.

[性质 5] 对极点向量 $^be_a$ 正比于本质矩阵 $E$ 的零奇异值对应的左奇异向量 $u_3$ .

[性质 6] 对极点向量 $^ae_b$ 正比于本质矩阵 $E$ 的零奇异值对应的右奇异向量 $v_3$ .

[性质 4] 的说明:

奇异值基本性质参考之前博文——奇异值分解之常用结论. 本质矩阵 $E$ 的奇异值通过对称矩阵 $E\,E^{\rm T}$ 非零特征值的开平方来获得. 先计算 $E\,E^{\rm T}$ 的特征值.
$\begin{aligned} &\det(\lambda I- E\, E^{\rm T}) \\ =\; & \det(\lambda I- [t]_{\times} R\, R^{\rm T}\,[t]_{\times}^{\rm T}) \\ = \; &\det(\lambda I- [t]_{\times} \,[t]_{\times}^{\rm T}) \\ = \; & -\lambda\,(\lambda -t_z^2 - t_y^2 - t_x^2)^2 \end{aligned} \tag{10-1}$
故 $E\,E^{\rm T}$ 的特征值为
$\left\{\begin{aligned} \lambda_{1,2} &= t_z^2 + t_y^2 + t_x^2 \\ \lambda_3 &= 0 \end{aligned} \right. \tag{10-2}$
本质矩阵 $E$ 的奇异值为
$\left\{\begin{aligned} \sigma_{1,2} &= \sqrt{t_z^2 + t_y^2 + t_x^2} \\ \sigma_3 &= 0 \end{aligned}\right. \tag{10-3}$
[性质 5] 的说明:

对称矩阵 $E\,E^{\rm T}$ 的特征向量 $u_1, u_2, u_3$ 构成了本质矩阵 $E$ 的左奇异向量.

已知对称矩阵 $E\,E^{\rm T}$ 的特征值中只有一个零特征值, 所以 $E\,E^{\rm T}$ 的零空间是 1 维的.

由式 (9-6) 可知
$E\,E^{\rm T}\, {^be_a} = E\,(E^{\rm T}\, {^be_a}) = 0 \tag{10-4}$
又由特征值和特征向量关系
$E\,E^{\rm T} u_3 = \lambda_3 \,u_3 = 0 \tag{10-5}$
可知 $^be_a$ 和 $u_3$ 都在 $E\,E^{\rm T}$ 的 1 维零空间上, 所以 “对极点向量 $^be_a$ 正比于本质矩阵 $E$ 的零奇异值对应的左奇异向量 $u_3$ ”.

[性质 6] 的说明:

首先说明 $E\,E^{\rm T}$ 与 $E^{\rm T}E$ 之间是相似.

已知 $[t]_{\times}^{\rm T} = -[t]_{\times}$ , 及 $E\, E^{\rm T} = [t]_{\times} R\, R^{\rm T}\,[t]_{\times}^{\rm T} = [t]_{\times} \,[t]_{\times}^{\rm T}$ , 则
$\begin{aligned} E^{\rm T} E &= \left([t]_{\times} R\right)^{\rm T}\, [t]_{\times} R\\ &= R^{\rm T} [t]_{\times}^{\rm T}\, [t]_{\times} R \\ &= R^{\rm T} [t]_{\times} [t]_{\times}^{\rm T} R \\ &= R^{\rm T} E \, E^{\rm T} R \end{aligned} \tag{10-6}$
旋转矩阵 $R$ 是可逆的, 故有矩阵相似关系 $E\,{E^{\rm T}} \sim {E^{\rm T}} E$ . 相似矩阵的特征值相同.

对称矩阵 $E^{\rm T}E$ 的特征向量 $v_1, v_2, v_3$ 构成了本质矩阵 $E$ 的右奇异向量.

由式 (9-4) 可知
$E^{\rm T}\, E \,{^ae_b} = E^{\rm T}\,(E \,{^ae_b}) = 0 \tag{10-7}$
又由于
$E^{\rm T}E\, v_3 = \lambda_3 \, v_3 = 0 \tag{10-8}$
同时由于 $E^{\rm T}\, E$ 只有一个零特征值, $E^{\rm T}\, E$ 零空间是 1 维的.