静电场边值问题——唯一性定理

2024-02-03 11:30

本文主要是介绍静电场边值问题——唯一性定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

唯一性定理的证明

已知方程组

\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.

这个方程组的解唯一

证明:

假设解不唯一,存在两个解满足

\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi_1=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi_1|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.

\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi_2=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi_2|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.

两个作差,我们可以得到

u=\varphi_1-\varphi_2

此时我们有

\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 u=0\\ u|_{s}=0 \end{aligned} \right.

由拉普拉斯方程,我们可以得到\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0

假设在体积内部存在极大值或者极小值,我们可以得到,这个方程不可能等于0

如果极大值极小值都在边界处出现,那么最大值最小值为0,此时恒等于0

我们得出

\varphi_1=\varphi_2

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http://www.chinasem.cn/article/674007

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