A Singularly Valuable Decomposition(SVD奇异值分解)

A Singularly Valuable Decomposition(SVD奇异值分解)

        SVD与熟悉的对称矩阵对角化理论密切相关。 如果A是对称实数n×n矩阵，则存在正交矩阵V和对角线D，使得A= 。 这里V的列是A的特征向量，并形成Rn的正交基; D的对角线上的数值是A的特征值。为了强调与SVD的联系，我们将称为A的特征值分解或EVD。

        对于SVD，任意一个实数m×n矩阵A，存在正交矩阵U和V以及一个对角矩阵，这次表示为Σ，使得A = 。 在这种情况下，U是m×m矩阵，V是n×n矩阵，所以Σ是与A的尺寸相同的矩形。Σ的对角线上的数值，即Σii=σi，可以排列成非负的并且是按幅度减小的顺序排列的。正数值σi称为A的奇异值，U和V的列称为A的左和右奇异向量。        

        下面先介绍一下特征值（EVD）分解：

        如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成，这时候被称为特征向量v对应的特征值。

        一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征分解是将一个矩阵分解成A = ，其中V是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，每个对角矩阵上的元素就是一个特征值。

        一个矩阵变换可以看成为一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。举例如下：

 eg1. 矩阵M如下：

它对应的线性变换如下面形式：

用图形描述为：

        上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时拉长，当值<1时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：

eg2. 

它所描述的变换的图形描述为：

        这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个），如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。反过头来看看之前特征值分解的式子，分解得到的D矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）。

        当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个线性变化可能没法通过图片来表示，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征。

        总结：特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过，特征