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题目一:

考虑如图所示的倒立摆系统。图中,倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括:摆杆的质量(摆杆的质量在摆杆中心)、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

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图倒立摆系统

设计一个控制系统,使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时,最大超调量 %≤10%,调节时间ts ≤4s ,使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求:1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵,使闭环极点能够达到期望的极点,这里所说的期望的极点确定

是把系统设计成具有两个主导极点,两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的

分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计,得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应,绘出相应状

态变量的时间响应图。

解:

1 建立一级倒立摆系统的数学模型

1.1 系统的物理模型

如图1所示,在惯性参考系下,设小车的质量为M ,摆杆的质量为m ,摆杆长度为l,在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ,作用在小车上的水平控制力为u。这样,整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。

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