三大变换与自控（六）傅立叶变换的性质，平移，对称，卷积等

前面的文章中我们推导出了傅立叶变换的公式，但是显然在实际应用中，这样的计算过程依旧是非常复杂的。

是否存在一些方法可以让计算变得简单一些呢？

答案是肯定的，这篇文章将探讨傅立叶变换的一些性质，从一些简单的函数的ft来推导出复杂函数的ft。

首先，先来看最简单的时域上的平移。

如果一个函数在时域上发生了平移，那么它的ft会有什么改变吗？

证明过程很简单，我们只需要使用换元法代入公式再整理一下就可以了：

把t=u+T代入，变成对u的积分：

最后发现，时域上向右平移T对ft的影响只是乘e^-（jwT)。

除了平移之外，还有时域上的对称。如果函数相对于y轴对称，ft会有什么影响？

我们用同样的办法代入公式整理：

这里我们也是换元，最后整理一下正负号，得出结论：

看到这里可能有小伙伴要问了，这有什么用呢？
这当然很有用了。

举个简单的例子：

左上角的函数求ft很简单，但是右上角的就很难了。但是只需要我们把左上角的函数进行对称，平移，再和原来的相加，就可以直接得到右上角的函数图像了。

通过我们之前推导的ft性质，可以轻松得到右上角函数的ft。这就是开头说的，从简单函数推导出复杂函数的ft。

当然，这样的性质还有很多，推导的方法也很简单雷同，所以后面就不详细列出推导过程了，直接给出结论，感兴趣的小伙伴可以自行推导。

除了上面这些比较简单的性质外，还有一项稍微复杂一点，且非常重要的东西：convolution，也就是常说的卷积。

卷积是个很神奇的东西，它可以把任何一样东西变成另一样东西的形状。

我（好像？）在前面的文章提到过，把一个信号和一个系统的冲激响应进行卷积，就得到了这个信号进过系统后的样子。

翻译成人话，比如，把你的声音和浴室的冲激响应进行卷积，就可以得到你在浴室里说这段话的声音，不仅如此，我们还可以对操场，走廊等等任何系统做类似的操作。

所以，卷积把你的声音变成了浴室的形状。

比方说下面这两个函数：

这两个函数进行卷积后，蓝色的函数受到了紫色三角形函数的制约，变成了最后橙色图像的样子，是不是很神奇？

卷积不仅神奇，而且用处非常大，可以用来分析系统和模拟输出。

说了这么多，卷积的数学表达是什么呢？

很简单，就是把两个函数的ft相乘，再逆变换组成的全新函数，这个新函数就集合了两个函数的形状。

我们来推导一下：

推导过程要复杂一点，思路就是对两个函数的乘积进行ift，建议拿起纸笔跟着推导比较好理解。不想理解的也可以直接记结论。

当然，身为工科生，我们更加注重实际应用，而对具体原理有个大致的了解就可以了，因此这个系列的文章直接跳过dft和fft，尽早进入拉普拉斯变换，以及如何绘制伯德图，二阶系统的分析，设计滤波器等等实际应用。