本文主要是介绍证明：多项式 $g(x)=x^2+x+1$ 整除多项式 $f(x)=x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$.，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
设 m , n m,n m,n 和 p p p 为正整数。证明：多项式 g ( x ) = x 2 + x + 1 g(x)=x^2+x+1 g(x)=x2+x+1 整除多项式 f ( x ) = x 3 m + x 3 n + 1 + x 3 p + 2 f(x)=x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2} f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2.
将 f ( x ) f(x) f(x) 改写成：
f ( x ) = ( x 3 m − 1 ) + x ( x 3 n − 1 ) + x 2 ( x 3 p − 1 ) + ( 1 + x + x 2 ) f(x)=(x^{3m}-1) + x(x^{3n}-1)+x^2(x^{3p}-1) + (1 +x+x^2) f(x)=(x3m−1)+x(x3n−1)+x2(x3p−1)+(1+x+x2)
因为：
x 3 k − 1 = x 3 k − 1 x 3 − 1 ( x 3 − 1 ) = ( 1 + x 3 + x 6 + ⋯ + x 3 k − 3 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 其中 k ∈ N + \begin{aligned} x^{3k}-1&=\frac{x^{3k}-1}{x^3-1}(x^3-1) \\ &=(1+x^3+x^6+\cdots+x^{3k-3})(x-1)(x^2+x+1)\\ \text{其中} k\in \mathbb{N^+} \end{aligned} x3k−1其中k∈N+=x3−1x3k−1(x3−1)=(1+x3+x6+⋯+x3k−3)(x−1)(x2+x+1)
所以：
x 2 + x + 1 ∣ x 3 k − 1 ⇒ x 2 + x + 1 ∣ f ( x ) \begin{aligned} x^2+x+1 \mid x^{3k} -1 \Rightarrow x^2+x+1 \mid f(x) \end{aligned} x2+x+1∣x3k−1⇒x2+x+1∣f(x)
即 g ( x ) ∣ f ( x ) g(x) \mid f(x) g(x)∣f(x)
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