南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）贪心分治之分治（包含快速傅里叶变换）

本文主要是介绍南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）贪心分治之分治（包含快速傅里叶变换），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

状态空间中的算法

状态空间：状态（点）+状态转移（边）+价值函数（点权）

求解过程的抽象模型
暴力搜索和动态规划都是一类算法框架（或算法思想），本质都是在状态空间中寻找解
二者都需要准确地用最少的状态变量建模
而对于动态规划，还需要定义正确的价值函数和转移更新

分治：子问题互不重叠，但最优子结构需考虑全部子问题

贪心：子问题互不重叠，但最优子结构仅考虑极少子问题

若认为动态规划算法的状态空间是有向无环图的话，对于分治和贪心，其状态空间通常可以建模成树，分治需要评估整个树，贪心则是树上的几条链

分治与贪心

经典算法回顾

归并排序：用两个子状态的解构造按序拼接当前状态的解，分治算法，时间复杂度O(n logn)

逆序对个数：用两个子状态的解构造统计个数当前状态的解，分治算法，时间复杂度O(n logn)

快速排序：需用两个子状态的解构造按序拼接当前状态的解，分治算法，期望时间复杂度O(n logn)

第k大数：仅需某一个子状态的解即可，贪心算法，期望时间复杂度O(n)

矩阵快速幂：两个子状态的解相同，贪心算法，时间复杂度O(logn)

分治

Strassen矩阵乘法

给出矩阵 $A,B\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，求 $C=A\times B$ 。

直接乘法的时间复杂度O(n^3)
Strassen乘法的核心思想：分块矩阵。
- $A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{pmatrix}$
Strassen算法会复用分块矩阵乘法结果，先10次加法计算：
- $S_1=B_{12}-B_{22}\ S_2=A_{11}+A_{12}\ S_3=A_{21}+A_{22}\ S_4=B_{21}-B_{11}$
- $S_5=A_{11}+A_{22}\ S_6=B_{11}+B_{22}\ S_7=A_{12}-A_{22}$
- $S_8=B_{21}+B_{22}\ S_9=A_{11}-A_{21}\ S_{10}=B_{11}+B_{12}$
再用7次乘法计算：
- $P_1=A_{11}S_1\ P_2=S_2B_{22}\ P_3=S_3B_{11}\ P_4=A_{22}S_4$
- $P_5=S_5S_6\ P_6=S_7S_8\ P_7=S_9S_{10}$
最终使用8次加法得出结果：
- $C_{11}=P_5+P_4-P_2+P_6\ C_{12}=P_1+P_2$
- $C_{21}=P_3+P_4\ C_{22}=P_5+P_1-P_3-P_7$
时间复杂度？ $T(n)=7T(\frac{n}{2})+O(n^2)$

分治算法的时间复杂度：T(n)=aT(n/b)+O(n^d)

主定理

$if\ d>\log_ba,T(n)=O(n^d)$
$if\ d=\log_ba,T(n)=O(n^d\log_ba)$
$if\ d<\log_ba,T(n)=O(n^{\log_ba})$

一维数值积分

给出一维函数 $f(x)$ ，计算 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ (无闭式解)

梯形近似法：将区间等分n份，求n个梯形的面积和
对于区间，其梯形面积等价于过点 $(x_0,f(x_0))$ 和 $(x_1,f(x_1))$ 线性函数的积分 $\int_{x_0}^{x_1}P(x)dx$
- $P(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)=f(x_0)\frac{x-x_1}{x_0-x_1} +f(x_1)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$
- $\int_{x_0}^{x_1}P(x)dx=\frac{x_1-x_0}{2}(f(x_0)+f(x_1))$
求过2个点的线性函数 $P(x)$ 即线性插值（一次插值）

一维数值积分

给出一维函数 $f(x)$ ，计算 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ (无闭式解)

插值interpolation 拉格朗日插值多项式
- n+1个不同的点 $(x_i,y_i)$ ，可确定n阶多项式函数的全部系数
- $A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\prod_{j\neq i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$
梯形法即为一次插值（但是近似程度不够）
优化一：利用二次插值（利用a，m=(a+b)/2，b三个点）
- $P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}$
- 数值积分转化为下式（即辛普森积分法）
- $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \int_{a}^{b}P(x)dx=\frac{b-a}{6}(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))$

一维数值积分

给出一维函数 $f(x)$ ，计算 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ (无闭式解)

梯形近似法：将区间等分n份，求n个梯形的面积和
思考：分到多细为止？等分是否有问题？

显然，每个区间不必分解到相同粒度，但分解后结果要使得积分值在误差范围 $\varepsilon$ 内
优化二：自适应辛普森算法----自适应算法也是一类算法框架
- AdaSimp(a,b,S(a,b,f))，其中S()为辛普森积分函数
1. $m\leftarrow \frac{a+b}{2}$
2. 计算S(a,m,f)和S(m,b,f)
3. 若 $\left | S(a,m,f)+S(m,b,f)-S(a,b,f) \right |<\varepsilon$ ，则返回S(a,b,f)
4. 否则，返回 $AdaSimp(a,m,S(a,m,f))+AdaSimp(m,b,S(m,b,f))$
时间复杂度？取决于 $f(x)$ 的性质和 $\varepsilon$ 的大小
思考：高维积分这种方法还可行吗？不可行的话该怎么办？

多项式算法

n阶多项式A(x)的定义为

$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdot \cdot \cdot +a_nx^n$

给出两个n阶多项式A(x)，B(x)，计算C(x)=A(x)✖B(x)

多项式乘法： $D(x)=A(x)+B(x)=\sum_{i=0}^{n}d_ix^i,\ where\ d_i=a_i+b_i$ 时间复杂度：O(n)
多项式乘法： $C(x)=A(x)\times B(x)=\sum_{i=0}^{2n}c_ix^i,\ where\ c_i=\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}$ 时间复杂度：O(n^2)

多项式的表示法

以下对n-1阶多项式 $A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$ 讨论

系数表示法Coefficient representation
- 即系数向量 $\mathbf{a}=(a_0,a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_{n-1})$ 即可表示一个多项式
- 加法时间复杂度O(n)，乘法时间复杂度O(n^2)
点值表示法Point-value representation
- 即使用n个点 $\left \{ (x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdot \cdot \cdot ,(x_n,y_n) \right \}$ 即可表示n-1阶多项式，其中要求 $y_k=A(x_k),k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n$
- 若对于A(x)的点值表示和B(x)的点值表示
  - 加法结果为 $\left \{ (x_0,y_0+y^{'}_0),(x_1,y_1+y^{'}_1),\cdot \cdot \cdot ,(x_n,y_n+y^{'}_n) \right \}$ 复杂度O(n)
  - 乘法结果注意为2n-2阶多项式，需要2n-1个点确定，即为 $\left \{ (x_0,y_0y^{'}_0),(x_1,y_1y^{'}_1),,\cdot \cdot \cdot (x_{2n-1},y_{2n-1}y^{'}_{2n-1}) \right \}$ 复杂度O(n)

多项式表示法的转换

以下对n-1阶多项式 $A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$ 讨论

求值Evaluation：系数表示➡点值表示
- 秦九韶算法/Horner's rule： $y_k4=A(x_k)=a_0+x_k(a_1+x_k(a_2+\cdot \cdot \cdot ))$
- 对n个点进行计算，总共需要O(n^2)的时间
插值Interpolation：点值表示➡插值表示
- 多项式插值唯一性：范德蒙德矩阵非奇异
- 拉格朗日插值，时间复杂度O(n^2)
  -  $A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\prod_{j\neq i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$

于是，计算乘积 $C(x)=A(x)\times B(x)$ 可以通过

A(x)，B(x)系数表示➡系数乘法 O(n^2)➡C(x)系数表示
A(x)，B(x)系数表示➡求值 O(n^2)➡A(x)，B(x)点值表示➡点值乘法 O(n)➡C(x)点值表示➡插值 O(n^2)➡C(x)系数表示

快速傅里叶变换Fast Fourier Transform，FFT

选n个特殊点 $(x_k,y_k)$ ，用分治优化求值和插值为O(n logn)

A(x)，B(x)系数表示➡FFT求值 O(n log n)➡A(x)，B(x)点值表示➡点值乘法 O(n)➡C(x)点值表示➡FFT插值 O(n log n)➡C(x)系数表示

特殊的点 $x_k$ 为第k个n次单位根

背景知识：复变函数 $z=a+bi$

复数的四则运算：加减乘除
复数的几何表示：复平面，模长 $r$ 和辐角 $\theta$
运算的几何意义：加：四边形法则；乘：模长乘，辐角加
欧拉公式： $e^{\theta i}=\cos \theta+i\sin \theta$
单位根：复数域上满足 $x^n=1$ 所有解：共有n个根，记作
- $w_n^k=e^{\frac{2\pi k}{n}i},\ for\ k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n-1$
n个单位根构成了循环群，生成元（本源根） $w_n^1$
模n加/乘法群， $w_n^jw_n^k=w_n^{(j+k)\ mod\ n}$ ， $(w_n^k)^i=w_n^{(ki)\ mod\ n}$
折半引理： $w_{2n}^{2k}=w_n^k$
消去引理： $w_n^{k+\frac{n}{2}}=-w_n^k$
求和引理： $\sum_{i=0}^{n-1}(w_n^k)^i=0$

离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform，DFT

即对n-1阶多项式A(x)在n次单位根上的求值过程

给出的系数表示，即向量，计算其在n次单位根上的值，即
- $y_k=A(w_n^k)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(w_n^k)^i,for\ k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n-1$
在这种情况下，向量即为系数向量的离散傅里叶变换，记作
- $\mathbf{y}=DFT(\mathbf{a})$ 或者 $\mathbf{a}=DFT^{-1}(\mathbf{y})$
由单位根 $w_n^k$ 的特殊性质，DFT可用分治快速完成➡FFT

快速傅里叶变化（求值部分）

首先，假定A(x)的阶数n为2的整数次幂（通过引入0系数高阶项可以永远做到）
分别通过A(x)的奇数次项和偶数次项系数定义新多项式
- $A^{'}(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+\cdot \cdot \cdot +a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1}$
- $A^{''}(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}$
由此可得分治算法的关键： $A(x)=A^{'}(x^2)+xA^{''}(x^2)$
因此，计算A(x)在上的值，可以转化为：
- 先计算 $A^{'}(x)$ 和 $A^{''}(x)$ 在 $(w_n^0)^2,(w_n^1)^2,\cdot \cdot \cdot ,(w_n^{n-1})^2$ 上的值（注意根据折半引理和消去引理可以使计算点的个数减半）
- 再根据 $A(x)=A^{'}(x^2)+xA^{''}(x^2)$ 合并结果
具体来说，计算，可以转化为：
- 对于 $k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,\frac{n}{2}-1$ （前n/2个点）
- $A(w_n^k)=A^{'}((w_n^k)^2)+w_n^kA^{''}((w_n^k)^2)=A^{'}(w_{\frac{n}{2}}^k)+w_n^kA^{''}(w_{\frac{n}{2}}^k)$
- 对于 $k+\frac{n}{2}=\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1,\cdot \cdot \cdot ,n-1$ (后n/2个点，但 $k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,\frac{n}{2}-1$ )
- $A(w_n^{k+\frac{n}{2}})=A^{'}(w_n^{2k+n})+w_n^{k+\frac{n}{2}}A^{''}(w_n^{2k+n})=A^{'}(w_{\frac{n}{2}}^k)-w_n^kA^{''}(w_{\frac{n}{2}}^k)$
总结来说，A(x)上的n次单位根的值，只需分别计算一遍 $A^{'}(x)$ ， $A^{''}(x)$ 的n/2次单位根值即可构造出来
时间复杂度？ $T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$

快速傅里叶变换（插值部分）

注意，离散傅里叶变换 $\mathbf{y}=DFT(\mathbf{a})$ 其实可以写成矩阵形式 $\mathbf{y}=V_n\mathbf{a}$ ，其中 $V_n$ 是范德蒙德矩阵，第k行第j列元素为 $w_n^{kj}$
于是， $\mathbf{a}=DFT^{-1}(\mathbf{y})$ 也就是 $\mathbf{a}=V_n^{-1}\mathbf{y}$ ，由范德蒙德矩阵的求逆公式，第k行第j列元素为 $\frac{w_n^{-kj}}{n}$
因此，插值部分即将 $\mathbf{y}=(y_0,y_1,\cdot \cdot \cdot ,y_{n-1})$ 视作系数向量，构成新多项式，计算其在点 $w_n^0,w_n^{-1},\cdot \cdot \cdot ,w_n^{-(n-1)}$ 上的值，所得向量结果除上n即得到答案，此过程同理亦可分治