统计学2：随机变量分布规律（二项分布、泊松分布、正态分布）

本文主要是介绍统计学2：随机变量分布规律（二项分布、泊松分布、正态分布），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1、离散型随机变量的分布规律：二项分布、泊松分布（Binomial Distribution, Poisson Distribution）

-	二项分布(Binomial Distribution)	泊松分布(Poisson Distribution)
怎么计算？	$X\sim B\left(n,p\right)\ \ \ P\left(X=k\right)=C_n^kp^kq^{n-k}$	$X\sim B\left(\lambda\right)\ \ \ P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\E\left(X\right) =Var\left(X\right) =\lambda$
如何判断是否适用？	$\\2)每件事有两种结果\\3)每次成功的概率相等，为p\\4)在n次试验中，计算成功k次的概率$	$1）事件是独立事件\\2)任意相同的时间范围内或任意相同的区域范围内，事件发生的概率相同，为\lambda\\3)在某个时间范围内，计算发生某件事k次的概率$
举个栗子	$1) 抛 5 次硬币，求 2 次正面朝上的概率$	$1）求一个月内某机器损坏10次的概率\\2)求一个路段一小时内经过9辆车的概率$

X：随机变量

期望值和均值
在总体样本量未知时使用期望值计算总体样本均值
二项分布的期望值： $E\left(x\right) =np$

二项分布
二项式系数公式
$\binom{n}{k}=C^k_n=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

二项分布与泊松分布
泊松分布公式的推导就是将一段时间范围无限等分，使得每次事件发生都在一个等分的时间范围内，这时这些时间段内发生事件与否就遵循二项分布

泊松分布的推导过程（摘自https://jentchang.github.io/2019/01/01/stats-25/）

在这里插入图片描述

2、连续型随机变量的分布规律：概率密度函数、正态分布(Normal Distribution/ Gaussian Distribution/Bell Curve)

1)正态分布密度函数
$X\sim N\left({\mu,\sigma^2}\right)\ \ \ P\left(X\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}^{e^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
其中标准z分数： $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
在这里插入图片描述
$X\sim N\left({0,1}\right)$ 为标准正态分布
在概率密度函数的图像中，纵轴为概率密度，概率是对应的面积

2)正态分布密度函数的特点

均值μ为对称轴。
标准差σ表示图形的宽窄，标准差越小，数值越向平均值靠拢（可以理解为标准差是到均值的平均距离）
二项分布是有限的，正态分布在整个实轴上都有定义，即概率密度不会等于0。（尽管延伸出去概率极小，但也是存在的）

3)经验法则
$P\left(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma\right)=68\%$
$P\left(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma\right)=95\%$
$P\left(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma\right)=99.7\%$