本文主要是介绍利用待定系数法求自然数的n次幂的和，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
对于自然数的 p p p次幂的和 S p ( n ) S_p(n) Sp(n)：
S 1 ( n ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n S_1(n)=1+2+3+\cdots+n S1(n)=1+2+3+⋯+n
S 2 ( n ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 S_2(n)=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 S2(n)=12+22+32+⋯+n2
S 3 ( n ) = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 S_3(n)=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 S3(n)=13+23+33+⋯+n3
S 4 ( n ) = 1 4 + 2 4 + 3 4 + ⋯ + n 4 S_4(n)=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4 S4(n)=14+24+34+⋯+n4
⋯ \cdots ⋯
我们已经知道：
S 1 ( n ) = 1 2 n 2 + 1 2 n S_1(n)=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n S1(n)=21n2+21n
S 2 ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n S_2(n)=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n S2(n)=31n3+21n2+61n
S 3 ( n ) = 1 4 n 4 + 1 2 n 3 + 1 4 n 2 S_3(n)=\dfrac{1}{4}n^4+\dfrac{1}{2}n^3+\dfrac{1}{4}n^2 S3(n)=41n4+21n3+41n2
S 4 ( n ) = 1 5 n 5 + 1 2 n 4 + 1 3 n 3 − 1 30 n S_4(n)=\dfrac{1}{5}n^5+\dfrac{1}{2}n^4+\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{30}n S4(n)=51n5+21n4+31n3−301n
那么这些公式是如何求得的呢？
在如下三篇文章中，我给出了三种不同的方法：
玩数学：自然数p次幂求和，原来如此简单
玩数学：利用福尔哈伯公式求自然数p次幂和
玩数学：从杨辉三角形出发求前n个自然数的p次幂和
今天，我们返璞归真，采用初等数学的方法，即基于待定系数法求 S p ( n ) S_p(n) Sp(n)的通项公式。
由于每一项是 p p p次幂，且求 n n n项之和，故猜想和 S p ( n ) S_p(n) Sp(n)可以用 n n n的p+1次多项式表示，这个猜想是正确的，但在这里不予证明。
1. 求 S 1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n S_1=1+2+3+\cdots+n S1=1+2+3+⋯+n的公式
根据前面的猜想， S 1 S_1 S1可以用 n n n的二次多项式表示，我们令
S 1 ( n ) = a n 2 + b n + c S_1(n)=an^2+bn+c S1(n)=an2+bn+c
则分别令 n n n等于1、2、3，得到：
S 1 ( 1 ) = 1 = a + b + c S_1(1)=1=a+b+c S1(1)=1=a+b+c
S 2 ( 2 ) = 3 = 4 a + 2 b + c S_2(2)=3=4a+2b+c S2(2)=3=4a+2b+c
S 3 ( 3 ) = 6 = 9 a + 3 b + c S_3(3)=6=9a+3b+c S3(3)=6=9a+3b+c
得到方程组
{ a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 3 9 a + 4 b + c = 6 \begin{cases} & a+b+c=1 \\ & 4a+2b+c=3\\ & 9a+4b+c=6 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a+b+c=14a+2b+c=39a+4b+c=6
该三元一次方程组用矩阵表示为：
[ 1 1 1 4 2 1 9 3 1 ] [ a b c ] = [ 1 3 6 ] \begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 4& 2 & 1\\ 9& 3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 6 \end{bmatrix} ⎣⎡149123111⎦⎤⎣⎡abc⎦⎤=⎣⎡136⎦⎤
则
[ a b c ] = [ 1 1 1 4 2 1 9 3 1 ] − 1 [ 1 3 6 ] \begin{bmatrix} a \\ b\\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 4& 2 & 1\\ 9& 3&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 6 \end{bmatrix} ⎣⎡abc⎦⎤=⎣⎡149123111⎦⎤−1⎣⎡136⎦⎤
即
[ a b c ] = 1 2 [ 1 − 2 1 − 5 8 − 3 6 − 6 2 ] [ 1 3 6 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} =\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&-2&1\\ -5&8&-3\\ 6&-6&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 6\\ \end{bmatrix} ⎣⎡abc⎦⎤=21⎣⎡1−56−28−61−32⎦⎤⎣⎡136⎦⎤
也即
[ a b c ] = [ 1 2 1 2 0 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\\0 \end{bmatrix} ⎣⎡abc⎦⎤=⎣⎢⎢⎡21210⎦⎥⎥⎤
这样，我们就求出了
S 1 ( n ) = 1 2 n 2 + 1 2 n S_1(n)=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n S1(n)=21n2+21n
2. 求 S 2 ( n ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 S_2(n)=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 S2(n)=12+22+32+⋯+n2的公式
同样用待定系数法， S 2 ( n ) S_2(n) S2(n)可以表示为 n n n的一元三次多项式：
S 2 ( n ) = a n 3 + b n 2 + c n + d S_2(n)=an^3+bn^2+cn+d S2(n)=an3+bn2+cn+d
分别令 n = 1 、 2 、 3 、 4 n=1、2、3、4 n=1、2、3、4，得到
S_2(1)=2=a+b+c+d
S_2(2)=5=8a+4b+2c+d
S_2(3)=14=27a+9b+3c+d
S_2(4)=30=64a+16b+4c+d
得到方程组
[ 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1 ] [ a b c d ] = [ 1 5 14 30 ] \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 8&4&2&1\\ 27&9&3&1\\ 64&16&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\5\\14\\30 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡1827641491612341111⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡abcd⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡151430⎦⎥⎥⎤
也即
[ a b c d ] = [ 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1 ] − 1 [ 1 5 14 30 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 8&4&2&1\\ 27&9&3&1\\ 64&16&4&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1\\5\\14\\30 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡abcd⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1827641491612341111⎦⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎡151430⎦⎥⎥⎤
也即
[ a b c d ] = [ − 1 6 1 2 − 1 2 1 6 3 2 − 4 7 2 − 1 − 13 3 19 2 − 7 11 6 4 − 6 4 − 1 ] [ 1 5 14 30 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6}\\ \dfrac{3}{2}&-4&\dfrac{7}{2}&-1\\ -\dfrac{13}{3}&\dfrac{19}{2}&-7&\dfrac{11}{6}\\ 4&-6&4&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\5\\14\\30 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡abcd⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−6123−313421−4219−6−2127−7461−1611−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡151430⎦⎥⎥⎤
求得
[ a b c d ] = [ 1 3 1 2 1 6 0 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}2{}\\\dfrac{1}{6}\\0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡abcd⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡3121610⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
这样，我们就求得：
S 2 ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n S_2(n)=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n S2(n)=31n3+21n2+61n
3. 求 S 3 ( n ) = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 S_3(n)=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 S3(n)=13+23+33+⋯+n3的公式
如法炮制， S 3 ( n ) S_3(n) S3(n)可以表示为 n n n的一元四次多项式：
S 3 ( n ) = a n 4 + b n 3 + c n 2 + d n + e S_3(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e S3(n)=an4+bn3+cn2+dn+e
分别令 n = 1 、 2 、 3 、 4 、 5 n=1、2、3、4、5 n=1、2、3、4、5，得
S_1(1)=1=a+b+c+d+e\
S_1(2)=9=26a+8b+4c+2d+e\
S_1(3)=36=81a+27b+9c+3d+e\
S_1(4)=100=256a+64b+16c+4d+e\
S_1(5)=225=625a+125b+25c+5d+e
用矩阵表示方程如下：
[ 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1 ] [ a b c d e ] = [ 1 9 36 100 225 ] \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 16&8&4&2&1\\ 81&27&9&3&1\\ 256&64&16&4&1\\ 625&125&25&5&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 9\\ 36\\ 100\\ 225 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡1168125662518276412514916251234511111⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡abcde⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1936100225⎦⎥⎥⎥⎥⎤
解方程，得
[ a b c d e ] = [ 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1 ] − 1 [ 1 9 36 100 225 ] \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 16&8&4&2&1\\ 81&27&9&3&1\\ 256&64&16&4&1\\ 625&125&25&5&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1\\ 9\\ 36\\ 100\\ 225 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡abcde⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1168125662518276412514916251234511111⎦⎥⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎢⎡1936100225⎦⎥⎥⎥⎥⎤
求得
[ a b c d e ] = [ 1 24 − 1 6 1 4 1 6 1 24 − 7 12 13 6 − 3 11 6 − 5 12 71 24 − 59 6 49 4 − 41 6 35 24 − 77 12 107 6 − 39 2 61 6 − 25 12 5 − 10 10 − 5 1 ] [ 1 9 36 100 225 ] \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{24}&-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}&\frac{1}{6}&\frac{1}{24}\\ -\frac{7}{12}&\frac{13}{6}&-3&\frac{11}{6}&-\frac{5}{12}\\ \frac{71}{24}&-\frac{59}{6}&\frac{49}{4}&-\frac{41}{6}&\frac{35}{24}\\ -\frac{77}{12}&\frac{107}{6}&-\frac{39}{2}&\frac{61}{6}&-\frac{25}{12}\\ 5&-10&10&-5&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 9\\ 36\\ 100\\ 225 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡abcde⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡241−1272471−12775−61613−6596107−1041−3449−2391061611−641661−5241−1252435−12251⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡1936100225⎦⎥⎥⎥⎥⎤
计算得到
[ a b c d e ] = [ 1 4 1 2 1 4 0 0 ] \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{4}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡abcde⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡41214100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
这样，我们就求得
S 3 ( n ) = 1 4 n 4 + 1 2 n 3 + 1 4 n 2 S_3(n)=\dfrac{1}{4}n^4+\dfrac{1}{2}n^3+\dfrac{1}{4}n^2 S3(n)=41n4+21n3+41n2
4. 求 S 4 ( n ) = 1 4 + 2 4 + 3 4 + ⋯ + n 4 S_4(n)=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4 S4(n)=14+24+34+⋯+n4的公式
S 4 ( n ) S_4(n) S4(n)可以表示为 n n n的一元五次多项式：
S 4 ( n ) = a n 5 + b n 4 + c n 3 + d n 2 + e n + f S_4(n)=an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f S4(n)=an5+bn4+cn3+dn2+en+f
分别令 n = 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 n=1、2、3、4、5、6 n=1、2、3、4、5、6得到
a + b + c + d + e + f = S 4 ( 1 ) a+b+c+d+e+f=S_4(1) a+b+c+d+e+f=S4(1)
32 a + 16 b + 8 c + 4 d + 2 e + f = S 4 ( 2 ) 32a+16b+8c+4d+2e+f=S_4(2) 32a+16b+8c+4d+2e+f=S4(2)
243 a + 81 b + 27 c + 9 d + 3 e + f = S 4 ( 3 ) 243a+81b+27c+9d+3e+f=S_4(3) 243a+81b+27c+9d+3e+f=S4(3)
1024 a + 256 b + 64 c + 16 d + 4 e + f = S 4 ( 4 ) 1024a+256b+64c+16d+4e+f=S_4(4) 1024a+256b+64c+16d+4e+f=S4(4)
3125 a + 625 b + 125 c + 25 d + 5 e + f = S 4 ( 5 ) 3125a+625b+125c+25d+5e+f=S_4(5) 3125a+625b+125c+25d+5e+f=S4(5)
7776 a + 1296 b + 216 c + 36 d + 6 e + f = S 4 ( 6 ) 7776a+1296b+216c+36d+6e+f=S_4(6) 7776a+1296b+216c+36d+6e+f=S4(6)
变化成矩阵形式，得到
[ 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 243 81 27 9 3 1 1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1 ] [ a b c d e f ] = [ 1 17 98 354 979 2275 ] \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1\\ 32&16&8&4&2&1\\ 243&81&27&9&3&1\\ 1024&256&64&16&4&1\\ 3125&625&125&25&5&1\\ 7776&1296&216&36&6&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\ 17\\ 98\\ 354\\ 979\\ 2275 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡132243102431257776116812566251296182764125216149162536123456111111⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡abcdef⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡117983549792275⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
解得
[ a b c d e f ] = [ 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 243 81 27 9 3 1 1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1 ] − 1 [ 1 17 98 354 979 2275 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1\\ 32&16&8&4&2&1\\ 243&81&27&9&3&1\\ 1024&256&64&16&4&1\\ 3125&625&125&25&5&1\\ 7776&1296&216&36&6&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}1\\ 17\\ 98\\ 354\\ 979\\ 2275 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡abcdef⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡132243102431257776116812566251296182764125216149162536123456111111⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡117983549792275⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
进一步求得
[ a b c d e f ] = 1 120 [ − 1 5 − 10 10 − 5 1 20 − 95 180 − 170 80 − 15 − 155 685 − 1210 1070 − 475 85 580 − 2305 3720 − 3070 1300 − 225 − 1044 3510 − 5080 3960 − 1620 274 720 − 1800 2400 − 1800 720 − 120 ] [ 1 17 98 354 979 2275 ] \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{bmatrix}=\dfrac{1}{120} \begin{bmatrix} -1&5&-10&10&-5&1\\ 20&-95&180&-170&80&-15\\ -155&685&-1210&1070&-475&85\\ 580&-2305&3720&-3070&1300&-225\\ -1044&3510&-5080&3960&-1620&274\\ 720&-1800&2400&-1800&720&-120 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 17\\ 98\\ 354\\ 979\\ 2275 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡abcdef⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=1201⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−120−155580−10447205−95685−23053510−1800−10180−12103720−5080240010−1701070−30703960−1800−580−4751300−16207201−1585−225274−120⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡117983549792275⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
= [ 1 5 1 2 1 3 0 − 1 30 0 ] =\begin{bmatrix} \dfrac{1}{5}\\ \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{3}\\ 0\\ -\dfrac{1}{30}\\ 0\\ \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡5121310−3010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
最后我们求得
S 4 ( n ) = 1 5 n 5 + 1 2 n 4 + 1 3 n 3 − 1 30 n S_4(n)=\dfrac{1}{5}n^5+\dfrac{1}{2}n^4+\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{30}n S4(n)=51n5+21n4+31n3−301n
#结论
貌似很复杂的问题，我们用初等的待定系数法轻而易举采地解决了，采用同样的方法，我们可以求任意次幂的自然数和 S k ( n ) 的 公 式 S_k(n)的公式 Sk(n)的公式，只不过计算复杂度越来越大。
计算复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
泗水亭长
于深圳市福田区
2022年3月26日00:09:06
这篇关于利用待定系数法求自然数的n次幂的和的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
