齐次二阶微分方程

本文主要是介绍齐次二阶微分方程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

二阶齐次微分方程的求解过程涉及特征方程的求解。以下是详细的求解步骤：

方程形式

二阶齐次线性微分方程的标准形式为：
$a\ddot{y}(t) + b\dot{y}(t) + c y(t) = 0$
其中：
- $y (t)$ 是未知函数；
- $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数；
- $\ddot{y}(t)$ 是 $y (t)$ 对时间 $t$ 的二阶导数；
- $\dot{y}(t)$ 是 $y (t)$ 对时间 $t$ 的一阶导数。

求解步骤

构造特征方程：

假设解的形式为：

$e^{\lambda t}$

代入原方程，得到：

$a\lambda^2 e^{\lambda t} + b\lambda e^{\lambda t} + c e^{\lambda t} = 0$

由于 $e^{\lambda t}$ 不为零，可以将其消去，得到特征方程：

$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

求解特征方程：

特征方程是一个二次方程，解为：

$\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

特征根的形式决定了微分方程的解：

两实根 ( $\Delta > 0$ )：
$C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
此时， $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是不同的实数。
一重实根 ( $\Delta = 0$ )：
$(C_1 + C_2 t) e^{\lambda t}$
此时， $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ 是相同的实数。
共轭复根 ( $\Delta < 0$ )：
设复根为 $\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$ ，此时解为：
$e^{\alpha t} \left(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)\right)$
其中 $\alpha = \frac{-b}{2a}$ 和 $\beta = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 。

确定常数：

利用初始条件 $y (0)$ 和 $\dot{y}(0)$ 可以确定常数 $C_1$ 和 $C_2$ 。例如：
- 设 $y(0) = y_0$ 和 $\dot{y}(0) = v_0$ 。
- 将初始条件代入通解，求解出 $C_1$ 和 $C_2$ 的值。

利用阻尼震荡系统理解二阶其次微分方程

过阻尼是一种在二阶线性微分方程中出现的现象，通常出现在描述阻尼振荡系统的情况下，比如机械振动或电路中的振荡。对于一个阻尼振荡系统，其运动方程通常可以写成：

$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$

其中：
- $m$ 是质量或电感（对应电路中的元件）；
- $c$ 是阻尼系数或电阻；
- $k$ 是弹性系数或电容的倒数。

通过解这个方程，我们得到特征方程：

$ms^2 + cs + k = 0$

特征方程的解为：

$s_1, s_2 = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$

过阻尼发生在以下条件下：
$c^2 > 4mk$

此时，特征方程的解 $s_1$ 和 $s_2$ 是两个不同的实数，并且它们都是负数。这是因为：
- $\sqrt{c^2 - 4mk}$ 是一个实数；

- $\sqrt{4mk}$ 意味着 $\sqrt{c^2 - 4mk} < 0$ 且 $\sqrt{c^2 - 4mk} < 0$ 。

这导致 $s_1$ 和 $s_2$ 都是负数。

当系统过阻尼时，系统的响应是指数衰减的，但不会出现振荡。系统会缓慢地返回到平衡位置，而不会超越平衡点。因为$ s_1$ 和$ s_2$ 都是负数，说明系统的自然响应随着时间推移会逐渐衰减，并最终趋于零。

为什么过阻尼和临界阻尼不会出现震荡

过阻尼和临界阻尼状态下系统不会出现震荡，这是由于系统的特征解的性质决定的。

在二阶线性微分方程中，特征方程的解决定了系统的动态行为。对于特征方程

$s^2 + \frac{c}{m}s + \frac{k}{m} = 0$

其解的形式取决于判别式 $\Delta = c^2 - 4mk$ ：

欠阻尼 (Underdamping): 当 $c^2 < 4mk$ 时，判别式 $\Delta$ 为负数，此时特征根 $s_1$ 和 $s_2$ 是一对共轭复数。复数形式的解对应的是系统会出现震荡现象，因为这时候解的实部决定了系统衰减的速度，而虚部则决定了震荡的频率。
临界阻尼 (Critical damping): 当 $c^2 = 4mk$ 时，判别式 $\Delta$ 为零，此时特征根 $s_1 = s_2$ 是一个重复的实根，系统不会震荡，但它的回归速度是最快的，不会出现超调。
过阻尼 (Overdamping): 当 $c^2 > 4mk$ 时，判别式 $\Delta$ 为正数，特征根 $s_1$ 和 $s_2$ 是两个不同的负实数。因为这两个特征根都为负且没有虚部，系统的响应是两个指数衰减项的叠加，表现为非振荡的缓慢回归到平衡位置。

为什么过阻尼不会出现震荡？

过阻尼情况下，特征根是实数且为负数，意味着系统的响应是纯粹的指数衰减，没有任何周期性成分或振荡。每个解项 $e^{s_1 t}$ 和 $e^{s_2 t}$ 都是随时间递减的指数函数，而没有复数部分的振荡行为。

因此，在过阻尼情况下，系统的响应会缓慢且单调地回归到平衡位置，而不会在平衡位置周围反复摆动。

为什么临界阻尼的回归速度最快

临界阻尼的回归速度之所以是最快的，主要是由于系统处于刚好不发生震荡的临界状态，在这种状态下，系统以最短的时间回归到平衡位置，而不会产生超调或震荡。

理解临界阻尼

在二阶线性微分方程中，描述阻尼振荡系统的方程通常为：
$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$

通过特征方程：
$ms^2 + cs + k = 0$

我们可以得到系统的特征根：
$s_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$

根据阻尼系数 $c$ 的大小，系统有以下三种情况：

欠阻尼 (Underdamping): (c^2 < 4mk)
特征根是共轭复数，系统会产生振荡并逐渐衰减到平衡位置。
临界阻尼 (Critical damping): (c^2 = 4mk)
特征根是一个重复的实数，系统不会震荡，且以最快的速度回归平衡位置。
过阻尼 (Overdamping): (c^2 > 4mk)
特征根是两个不同的负实数，系统不会震荡，但回归平衡位置的速度较慢。

为什么临界阻尼回归速度最快？

回归速度取决于系统如何处理阻尼和惯性之间的平衡：

欠阻尼系统：由于系统的阻尼不足，虽然回归速度相对较快，但会出现振荡，这意味着系统在回归到平衡位置之前会来回摆动多次，导致整体回归时间延长。
过阻尼系统：阻尼过大，系统虽然不会震荡，但由于阻力过大，系统回归的速度变慢，最终回到平衡位置所需时间较长。
临界阻尼系统：阻尼值刚好使系统既不震荡，也不会过于缓慢地回归平衡位置。特征根 $s_{1,2} = -\frac{c}{2m}$ 是一个双重实根，对应的解形式为：