一阶微分方程的解的存在唯一性定理

2024-09-04 06:28

本文主要是介绍一阶微分方程的解的存在唯一性定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

本篇笔记的内容来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社


利普希茨(Lipschitz)条件

考虑导数已解出的一阶微分方程

d y d x = f ( x , y ) (1) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)\tag{1} dxdy=f(x,y)(1)

其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 是矩形域 R R R 上的连续函数

如果存在常数 L > 0 L>0 L>0 ,使得不等式

∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ∣ ⩽ L ∣ y 1 − y 2 ∣ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant L|y_1-y_2| f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2

变量 y y y 的局部变化率受到常数 L L L 的限制

对于所有 ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) ∈ R (x,y_1),(x,y_2)\in R (x,y1),(x,y2)R 都成立

则称函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) R R R 上关于 y y y 满足利普希茨条件, L L L 称为利普希茨常数


解的存在唯一性定理

条件

f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在矩形域 R R R 上连续且关于 y y y 满足利普希茨条件

有初值条件 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0

结论

存在唯一的解 y = φ ( x 0 ) y=\varphi(x_0) y=φ(x0)

定义于 ∣ x − x 0 ∣ ⩽ h |x-x_0|\leqslant h xx0h

定义域上连续

且满足初值条件

其中

R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∣ y − y 0 ∣ ⩽ b h = min ⁡ ( a , b M ) M = max ⁡ ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ \begin{align*} R&:|x-x_0|\leqslant a,|y-y_0|\leqslant b\\ h&=\min\bigg(a,\frac{b}{M}\bigg)\\ M&=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\\ \end{align*} RhM:xx0a,yy0b=min(a,Mb)=(x,y)Rmaxf(x,y)

a , b a,b a,b 是矩形域的大小参数, M M M 是函数最大值, h h h 的含义见下文


证明的大致思路

只对 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 进行讨论, x 0 − h ⩽ x ⩽ x 0 x_0-h\leqslant x\leqslant x_0 x0hxx0 的证明完全一样

  1. 证明求微分方程初值问题的解等价于求积分方程的连续解(见下文命题一)

  2. 皮卡(Picard)的逐步逼近法求解积分方程(见下文命题二三四)

  3. 证明唯一性(见下文命题五)


命题一(等价证明)

y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是方程 ( 1 ) (1) (1) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上,满足初值条件

φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0

的解,则 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是积分方程

y = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , y ) d x (2) y=y_0+\int^x_{x_0}f(x,y)\mathrm{d}x\tag{2} y=y0+x0xf(x,y)dx(2)

的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上的连续解,反之亦然

这两方程可以通过微分积分互相转换

条件推结论

因为 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是方程 ( 1 ) (1) (1) 的解,故有

d φ ( x ) d x = f ( x , φ ( x ) ) \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x}=f(x,\varphi(x)) dxdφ(x)=f(x,φ(x))

两边从 x 0 x_0 x0 x x x 取定积分,得到

φ ( x ) − φ ( x 0 ) = ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)-\varphi(x_0)=\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)φ(x0)=x0xf(x,φ(x))dx

把初值条件 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0 带入上式,得

φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)=y0+x0xf(x,φ(x))dx

所以 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) ( 2 ) (2) (2) 定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上的连续解

结论推条件

因为 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是 方程 ( 2 ) (2) (2) 的连续解,则有

φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)=y0+x0xf(x,φ(x))dx

对上式求导 d φ ( x ) d x = f ( x , φ ( x ) ) \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x}=f(x,\varphi(x)) dxdφ(x)=f(x,φ(x)) ,代入 x = x 0 x=x_0 x=x0 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0


命题二(构造逐步逼近函数序列)

构造的皮卡逐步逼近序列如下

{ φ 0 ( x ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ n − 1 ( t ) ) d t \begin{cases} \varphi_0(x)=y_0\\ \varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm{d}t \end{cases} {φ0(x)=y0φn(x)=y0+x0xf(t,φn1(t))dt

对于所有的 n n n ,函数 φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x) x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上有定义、连续且满足不等式

∣ φ n ( x ) − y 0 ∣ ⩽ b |\varphi_n(x)-y_0|\leqslant b φn(x)y0b

这个不等式保证了 ( x , φ n ( x ) ) ∈ R (x,\varphi_n(x))\in R (x,φn(x))R

证明(数学归纳法)

n = 1 n=1 n=1 时, φ 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , y 0 ) d t \varphi_1(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,y_0)\mathrm{d}t φ1(x)=y0+x0xf(t,y0)dt

显然 φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x) x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上有定义且连续

∣ φ 1 ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( t , y 0 ) d t ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , y 0 ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ⩽ M h ⩽ b \begin{align*} |\varphi_1(x)-y_0|&=\bigg|\int^x_{x_0}f(t,y_0)\mathrm{d}t\bigg|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,y_0)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant M(x-x_0)\\ &\leqslant Mh\\ &\leqslant b \end{align*} φ1(x)y0= x0xf(t,y0)dt x0xf(t,y0)dtM(xx0)Mhb

( t , y 0 ) (t,y_0) (t,y0) 在矩形域内所以 M ⩾ ∣ f ( t , y 0 ) ∣ M\geqslant|f(t,y_0)| Mf(t,y0)

假设当 n = k n=k n=k 时成立,证明 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时也成立

φ k + 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ k ( t ) ) d t \varphi_{k+1}(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{k}(t))\mathrm{d}t φk+1(x)=y0+x0xf(t,φk(t))dt

由于 φ k \varphi_k φk x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 有定义且连续

所以 φ k + 1 ( x ) \varphi_{k+1}(x) φk+1(x) 也在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 有定义且连续

∣ φ k + 1 ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( t , φ k ( t ) ) d t ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ k ( t ) ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ⩽ M h ⩽ b \begin{align*} |\varphi_{k+1}(x)-y_0|&=\bigg|\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{k}(t))\mathrm{d}t\bigg|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_{k}(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant M(x-x_0)\\ &\leqslant Mh\\ &\leqslant b \end{align*} φk+1(x)y0= x0xf(t,φk(t))dt x0xf(t,φk(t))dtM(xx0)Mhb

因为 ∣ φ k ( x ) − y 0 ∣ ⩽ b |\varphi_{k}(x)-y_0|\leqslant b φk(x)y0b 所以 ( t , φ k ( x ) ) (t,\varphi_{k}(x)) (t,φk(x)) 也在矩形域内

即当 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时也成立,命题二证毕


命题三(函数序列一致收敛)

函数序列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上是一致收敛的

证明

分解为两项

φ n ( x ) = φ 0 ( x ) + ∑ k = 1 n [ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ] (3) \varphi_n(x)=\varphi_0(x)+ \sum^n_{k=1}\Big[\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)\Big]\tag{3} φn(x)=φ0(x)+k=1n[φk(x)φk1(x)](3)

前一项为常数 y 0 y_0 y0

只需要证明后一项一致收敛(先数学归纳法,再魏氏判别法

n = 2 n=2 n=2 时(从第一项开始也行,不过书上是这么写的)

∣ φ 2 ( x ) − φ 1 ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ 1 ( t ) ) − f ( t , φ 0 ( t ) ) ∣ d t \begin{align*} &\ \ \ \ \ |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_1(t)) -f(t,\varphi_0(t))|\mathrm{d}t \end{align*}      φ2(x)φ1(x)x0xf(t,φ1(t))f(t,φ0(t))dt

这时候用上利普希茨条件

⩽ ∫ x 0 x L ∣ φ 1 ( t ) − φ 0 ( t ) ∣ d t \begin{align*} &\leqslant\int^x_{x_0}L|\varphi_1(t)-\varphi_0(t)|\mathrm{d}t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{align*} x0xLφ1(t)φ0(t)dt                 

又因为(其实就是 n = 1 n=1 n=1 时的情况)

∣ φ 1 ( x ) − φ 0 ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , y 0 ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) = M L 0 1 ! ( x − x 0 ) 1 |\varphi_1(x)-\varphi_0(x)| \leqslant\int^x_{x_0}|f(t,y_0)|\mathrm{d}t \leqslant M(x-x_0) =\frac{ML^0}{1!}(x-x_0)^1 φ1(x)φ0(x)x0xf(t,y0)dtM(xx0)=1!ML0(xx0)1

所以

∣ φ 2 ( x ) − φ 1 ( x ) ∣ ⩽ M L ∫ x 0 x t − x 0 d t = M L 1 2 ! ( x − x 0 ) 2 |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|\leqslant ML\int^x_{x_0}t-x_0\mathrm{d}t =\frac{ML^1}{2!}(x-x_0)^2 φ2(x)φ1(x)MLx0xtx0dt=2!ML1(xx0)2

设当 n = k n=k n=k

∣ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L k − 1 k ! ( x − x 0 ) k |\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{k-1}}{k!}(x-x_0)^k φk(x)φk1(x)k!MLk1(xx0)k

那么

∣ φ k + 1 ( x ) − φ k ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ k ( t ) ) − f ( t , φ k − 1 ( t ) ) ∣ d t \begin{align*} |\varphi_{k+1}(x)-\varphi_{k}(x)|& \leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_k(t)) -f(t,\varphi_{k-1}(t))|\mathrm{d}t \end{align*} φk+1(x)φk(x)x0xf(t,φk(t))f(t,φk1(t))dt

再由利普希茨条件

⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ∣ d t ⩽ M L k k ! ∫ x 0 x ( t − x 0 ) k d t = M L k ( k + 1 ) ! ( x − x 0 ) k + 1 \begin{align*} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant\frac{ML^k}{k!}\int^x_{x_0}(t-x_0)^k\mathrm{d}t\\ &=\frac{ML^{k}}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1} \end{align*}                  Lx0xφk(x)φk1(x)dtk!MLkx0x(tx0)kdt=(k+1)!MLk(xx0)k+1

于是,由数学归纳法,对于所有正整数 n n n ,有

∣ φ n ( x ) − φ n − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L n − 1 n ! ( x − x 0 ) n |\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{n-1}}{n!}(x-x_0)^n φn(x)φn1(x)n!MLn1(xx0)n

x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h ,所以

∣ φ n ( x ) − φ n − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L n − 1 n ! h n |\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{n-1}}{n!}h^n φn(x)φn1(x)n!MLn1hn

又因为 ∑ k = 1 ∞ M L n − 1 n ! h n \sum^\infty_{k=1}\frac{ML^{n-1}}{n!}h^n k=1n!MLn1hn 是正项收敛级数

根据魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法,级数

∑ k = 1 ∞ [ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ] \sum^\infty_{k=1}\Big[\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)\Big] k=1[φk(x)φk1(x)]

也一致收敛,所以 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 也一致收敛


命题四(证明序列极限是方程的解)

lim ⁡ n → ∞ φ n ( x ) = φ ( x ) \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(x)=\varphi(x) nlimφn(x)=φ(x)

φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 是积分方程 ( 2 ) (2) (2) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上的连续解

证明

由利普希茨条件

∣ f ( x , φ n ( x ) ) − f ( x , φ ( x ) ) ∣ ⩽ L ∣ φ n ( x ) − φ ( x ) ∣ |f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi(x))| \leqslant L|\varphi_n(x)-\varphi(x)| f(x,φn(x))f(x,φ(x))Lφn(x)φ(x)

又因为 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 一致收敛于 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)

所以 f ( x , φ n ( x ) ) f(x,\varphi_n(x)) f(x,φn(x)) 一致收敛于 f ( x , φ ( x ) ) f(x,\varphi(x)) f(x,φ(x))

回到构造函数序列的式子

φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ n − 1 ( t ) ) d t \varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm{d}t φn(x)=y0+x0xf(t,φn1(t))dt

对两边取极限,得

φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ ( t ) ) d t \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi(t))\mathrm{d}t φ(x)=y0+x0xf(t,φ(t))dt

命题四证毕


命题五(唯一性证明)

ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 是积分方程 ( 2 ) (2) (2) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 的另一个连续解,则 φ ( x ) = ψ ( x ) \varphi(x)=\psi(x) φ(x)=ψ(x)

证明(跟命题三类似

证明 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 也是序列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 的极限

φ ( x 0 ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ ( t ) ) d t , ( n ⩾ 1 ) ψ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , ψ ( t ) ) d t \begin{align*} \varphi(x_0)&=y_0\\ \varphi_n(x)&=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi(t))\mathrm{d}t,(n\geqslant1)\\ \psi(x)&=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\psi(t))\mathrm{d}t \end{align*} φ(x0)φn(x)ψ(x)=y0=y0+x0xf(t,φ(t))dt,(n1)=y0+x0xf(t,ψ(t))dt

k = 1 k=1 k=1

∣ φ 0 ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ∣ φ 1 ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ 0 ( t ) ) − f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ 0 ( t ) − ψ ( t ) ∣ d t ⩽ M L ∫ x 0 x t − x 0 d t = M L 1 2 ! ( x − x 0 ) 2 \begin{align*} |\varphi_0(x)-\psi(x)|&\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t \leqslant M(x-x_0)\\ |\varphi_1(x)-\psi(x)|&\leqslant \int^x_{x_0}|f(t,\varphi_0(t))-f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_0(t)-\psi(t)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant ML\int^x_{x_0}t-x_0\mathrm{d}t=\frac{ML^1}{2!}(x-x_0)^2 \end{align*} φ0(x)ψ(x)φ1(x)ψ(x)x0xf(t,ψ(t))dtM(xx0)x0xf(t,φ0(t))f(t,ψ(t))dtLx0xφ0(t)ψ(t)dtMLx0xtx0dt=2!ML1(xx0)2

k = n k=n k=n

∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ n − 1 ( t ) ) − f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ n − 1 ( t ) − ψ ( t ) ∣ d t ⩽ M L n n ! ∫ x 0 x ( t − x 0 ) n d t = M L n ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \begin{align*} |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|&\leqslant \int^x_{x_0}|f(t,\varphi_{n-1}(t))-f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_{n-1}(t)-\psi(t)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant \frac{ML^n}{n!}\int^x_{x_0}(t-x_0)^n\mathrm{d}t=\frac{ML^n}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{align*} φn(x)ψ(x)x0xf(t,φn1(t))f(t,ψ(t))dtLx0xφn1(t)ψ(t)dtn!MLnx0x(tx0)ndt=(n+1)!MLn(xx0)n+1

由数学归纳法,对所有正整数 n n n ,有

∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ M L n ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{ML^n}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} φn(x)ψ(x)(n+1)!MLn(xx0)n+1

x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0xx0+h 上有

∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1} φn(x)ψ(x)(n+1)!MLnhn+1

因为

lim ⁡ n → ∞ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}=0 nlim(n+1)!MLnhn+1=0

所以 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 一致收敛于 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) ,根据极限的唯一性,得

φ ( x ) = ψ ( x ) \varphi(x)=\psi(x) φ(x)=ψ(x)

这篇关于一阶微分方程的解的存在唯一性定理的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1135250

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量化交易面试:什么是中心极限定理?

中心极限定理(Central Limit Theorem, CLT)是概率论和统计学中的一个重要定理,它描述了在一定条件下,独立随机变量的和的分布趋向于正态分布的性质。这个定理在量化交易和金融分析中具有重要的应用价值。以下是对中心极限定理的详细解释: 基本概念: 中心极限定理指出,当我们从一个具有任意分布的总体中抽取足够大的样本时,样本均值的分布将近似于正态分布,无论原始总体的分布是什么样的。