本文主要是介绍矩阵的迹以及迹对矩阵求导，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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矩阵的迹概念
矩阵的迹 就是 矩阵的主对角线上所有元素的和。
矩阵A的迹，记作tr(A)，可知tra(A)=∑aii，1<=i<=n。
定理：tr(AB) = tr(BA)
证明
定理：tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
这个是tr(AB)=tr(BA)的推广定理，很容易证明。
根据定理tr(AB)=tr(BA)可知：
tr(ABC)=tr((AB)C)=tr(CAB)
tr(ABC)=tr(A(BC))=tr(BCA)
所以tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
这个定理的实质就是：ABC的各种循环形式的矩阵乘函数的迹都相等，如下解释：
ABC的循环形势有三种：ABC、BCA，CAB。
就是从ABCABC中依次取以A,B,C开头且含有A、B、C的依次是：ABC、BCA、CAB，他们三个的迹相等~
定理：tr(A)=tr(A')，其中这里的A'表示A的转置矩阵
不能更容易证明了，矩阵转置不改变矩阵的主对角线上的所有元素，所以A和A的转置矩阵的迹一定相等。
定理：d(tr(XB))=d(tr(BX))=B'
即：XB矩阵乘函数的迹对X求导 结果等于矩阵B的转置
证明
定理：d(tr(X'B)) = d(tr(BX'))=B
即:X'B的矩阵乘函数的迹对X求导等于矩阵B
证明：
定理：如果a∈实数，则有tr(a)=a
证明：把a当做一个1×1的矩阵，所以tr(a)=a
定理：dtr(X) = I(单位矩阵)
dtr(X)表示，矩阵X的迹对矩阵X自己求导等于单位矩阵I
定理：dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=AB
证明：
因为tr(A'XB')=tr(A'XB')'=tr(BX'A)=tr(ABX')
所以dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=dtr(ABX')
又因为dtr(ABX')=AB
所以dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=AB
定理：d(tr(AXBX'))=AXB + A'XB'
证明：
定理：dtr(AXBX)=A'X'B'+B'X'A'
证明
(end)
这篇关于矩阵的迹以及迹对矩阵求导的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
