导数和微分

2024-06-10 09:12
文章标签 导数 微分

本文主要是介绍导数和微分,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

导数和微分

flyfish

本文主要论述其中的区别

导数是描述函数变化率的量,它表示函数在某点的瞬时变化速度和切线斜率。
微分是导数的一个线性近似,表示函数在某点处随着自变量变化的增量。
导数和微分在本质上都是研究函数变化的工具,但导数更侧重于变化率,而微分更侧重于线性近似和变化量。
导数和微分是微积分中的两个重要概念,它们虽然紧密相关,但有不同的含义和应用。以下是它们的区别:

导数(Derivative)

  1. 定义
  • 导数是描述函数变化率的一个量。具体来说,函数 f ( x ) f(x) f(x) 在某点 x = a x = a x=a 处的导数,表示当 x x x a a a 附近变化时,函数 f ( x ) f(x) f(x) 的变化速度。
  • 数学上,导数定义为:
    f ′ ( a ) = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} f(a)=limh0hf(a+h)f(a)
  1. 几何意义
  • 导数在几何上表示曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 在点 ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) (a,f(a)) 处的切线的斜率。
  1. 表示方法
  • 常见的表示法有 f ′ ( x ) f'(x) f(x) d f d x \frac{df}{dx} dxdf D f ( x ) Df(x) Df(x) 等。
  1. 应用
  • 导数用于研究函数的单调性、极值、凹凸性等性质,广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分(Differential)

  1. 定义
  • 微分是导数的一个线性近似。它描述了函数 f ( x ) f(x) f(x) 在某点 x = a x = a x=a 处的增量与自变量 x x x 的增量之间的线性关系。
  • 如果 f f f a a a 处可导,且导数为 f ′ ( a ) f'(a) f(a),那么函数在 a a a 处的微分 d f df df 可以表示为:
    d f = f ′ ( a ) ⋅ d x df = f'(a) \cdot dx df=f(a)dx
  • 其中 d x dx dx 是自变量 x x x 的一个增量。
  1. 几何意义
  • 微分表示的是切线的变化量,它是导数的一个线性近似,适用于小范围内的函数变化。
  1. 表示方法
  • 微分常表示为 d y dy dy d f df df,其中 d y = f ′ ( x ) ⋅ d x dy = f'(x) \cdot dx dy=f(x)dx

导数描述函数变化率

例子:位置函数和速度

假设有一辆车在直线上行驶,其位置 s s s(单位:米)随时间 t t t(单位:秒)的变化用函数 s ( t ) = t 2 s(t) = t^2 s(t)=t2 表示。这意味着在时间 t t t 秒时,车的位置是 s ( t ) s(t) s(t) 米。

我们想要了解这辆车在某一时刻的速度。速度就是位置随时间变化的速率,也就是位置函数的导数。

  1. 计算导数
  • 首先,计算位置函数 s ( t ) s(t) s(t) 的导数 s ′ ( t ) s'(t) s(t)
    s ′ ( t ) = d d t ( t 2 ) = 2 t s'(t) = \frac{d}{dt} (t^2) = 2t s(t)=dtd(t2)=2t
  • 这个导数 s ′ ( t ) s'(t) s(t) 就是车在时间 t t t 秒时的瞬时速度。
  1. 解释变化率
  • 导数 s ′ ( t ) s'(t) s(t) 描述了车的位置 s ( t ) s(t) s(t) 随时间 t t t 变化的速率。例如,在 t = 3 t = 3 t=3 秒时,导数 s ′ ( 3 ) = 2 × 3 = 6 s'(3) = 2 \times 3 = 6 s(3)=2×3=6 米/秒。这意味着在第 3 秒时,车的速度是每秒 6 米。
  • 更具体地说,导数 s ′ ( t ) s'(t) s(t) 告诉我们,当时间 t t t 变化一个非常小的量 Δ t \Delta t Δt 时,位置 s ( t ) s(t) s(t) 将变化约 s ′ ( t ) ⋅ Δ t s'(t) \cdot \Delta t s(t)Δt

具体的变化率例子

假设我们想知道在 t = 3 t = 3 t=3 秒时,车的位置是如何随时间变化的。我们可以计算导数在这个点的值并解释它的含义。

  • t = 3 t = 3 t=3 秒时,车的位置是:
    s ( 3 ) = 3 2 = 9 米 s(3) = 3^2 = 9 \text{ 米} s(3)=32=9 

  • t = 3 t = 3 t=3 秒时,车的瞬时速度是:
    s ′ ( 3 ) = 2 × 3 = 6 米/秒 s'(3) = 2 \times 3 = 6 \text{ 米/秒} s(3)=2×3=6 /
    如果时间从 3 秒增加到 3.1 秒,即 Δ t = 0.1 \Delta t = 0.1 Δt=0.1 秒,我们可以使用导数来近似计算这段时间内车位置的变化量:

  • 近似变化量 Δ s \Delta s Δs
    Δ s ≈ s ′ ( 3 ) ⋅ Δ t = 6 米/秒 × 0.1 秒 = 0.6 米 \Delta s \approx s'(3) \cdot \Delta t = 6 \text{ 米/秒} \times 0.1 \text{ 秒} = 0.6 \text{ 米} Δss(3)Δt=6 /×0.1 =0.6 
    实际位置的变化量:

  • 计算实际位置在 3.1 秒时的位置:
    s ( 3.1 ) = ( 3.1 ) 2 = 9.61 米 s(3.1) = (3.1)^2 = 9.61 \text{ 米} s(3.1)=(3.1)2=9.61 

  • 实际位置的变化量:
    Δ s = s ( 3.1 ) − s ( 3 ) = 9.61 − 9 = 0.61 米 \Delta s = s(3.1) - s(3) = 9.61 - 9 = 0.61 \text{ 米} Δs=s(3.1)s(3)=9.619=0.61 
    通过这个例子,我们可以看到,导数 s ′ ( t ) s'(t) s(t) 提供了车在某一时刻的位置变化率,近似地描述了车位置随时间变化的情况。这就是导数描述函数变化率的一个具体实例。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义函数和导数
def f(x):return x**2def f_prime(x):return 2*x# 定义点和增量
a = 2
h = 0.5# 计算切线的点
x_tangent = np.linspace(a - 1, a + 1, 100)
y_tangent = f(a) + f_prime(a) * (x_tangent - a)# 绘图
x = np.linspace(a - 2, a + 2, 400)
y = f(x)plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='Function $f(x) = x^2$')
plt.scatter([a, a + h], [f(a), f(a + h)], color='red')
plt.plot(x_tangent, y_tangent, '--', label='Tangent line at $x = 2$', color='orange')# 标注
plt.text(a, f(a), 'A (2, 4)', fontsize=12, verticalalignment='bottom')
plt.text(a + h, f(a + h), f'B ({a+h}, {f(a + h):.2f})', fontsize=12, verticalalignment='bottom')plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Visualization of Derivative Definition')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

在这里插入图片描述

微分作为导数的线性近似

例子:函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2

假设我们有一个函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2,我们想要研究这个函数在某个点 x = 2 x = 2 x=2 处的导数和微分。

  1. 计算导数
  • 首先,计算 f ( x ) f(x) f(x) 的导数 f ′ ( x ) f'(x) f(x)
    f ′ ( x ) = d d x ( x 2 ) = 2 x f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x f(x)=dxd(x2)=2x
  • x = 2 x = 2 x=2 处的导数 f ′ ( 2 ) f'(2) f(2) 为:
    f ′ ( 2 ) = 2 × 2 = 4 f'(2) = 2 \times 2 = 4 f(2)=2×2=4
  1. 微分的线性近似
  • x = 2 x = 2 x=2 处,函数 f ( x ) f(x) f(x) 的微分 d f df df 表示为:
    d f = f ′ ( 2 ) ⋅ d x = 4 ⋅ d x df = f'(2) \cdot dx = 4 \cdot dx df=f(2)dx=4dx
  • 这里, d x dx dx 是自变量 x x x 的一个小增量。
  1. 具体例子:估算函数值的变化
  • 现在假设 x x x 从 2 增加到 2.1,即 d x = 0.1 dx = 0.1 dx=0.1
  • 通过微分来近似计算 f ( x ) f(x) f(x) 的变化量 d f df df
    d f = 4 ⋅ 0.1 = 0.4 df = 4 \cdot 0.1 = 0.4 df=40.1=0.4
  • 这意味着,当 x x x 从 2 增加到 2.1 时,函数值 f ( x ) f(x) f(x) 的变化量大约为 0.4。
  • 现在我们来计算精确的变化量,即 f ( 2.1 ) − f ( 2 ) f(2.1) - f(2) f(2.1)f(2)
    f ( 2.1 ) = ( 2.1 ) 2 = 4.41 f(2.1) = (2.1)^2 = 4.41 f(2.1)=(2.1)2=4.41
    f ( 2 ) = 2 2 = 4 f(2) = 2^2 = 4 f(2)=22=4
    f ( 2.1 ) − f ( 2 ) = 4.41 − 4 = 0.41 f(2.1) - f(2) = 4.41 - 4 = 0.41 f(2.1)f(2)=4.414=0.41
  • 由此可见,通过微分得到的近似值 0.4 0.4 0.4 与精确变化量 0.41 0.41 0.41 非常接近。

在这个例子中,导数 f ′ ( 2 ) = 4 f'(2) = 4 f(2)=4 表示函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2 x = 2 x = 2 x=2 处的瞬时变化率。而微分 d f = 4 ⋅ d x df = 4 \cdot dx df=4dx 提供了一个线性近似,用于估算当 x x x 发生小变化时,函数值 f ( x ) f(x) f(x) 的变化量。

这种线性近似在 d x dx dx 很小时非常有效,可以用于快速估算和简化计算。

PyTorch 中的求导(autograd)功能

基本用法

1. 计算标量函数的导数

假设我们有一个标量函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2,我们希望计算它的导数。

import torch# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)# 定义函数
y = x**2# 计算导数
y.backward()# 打印导数
print(x.grad)  # 输出: tensor(4.0)

在这个例子中:

  • 我们创建了一个标量张量 x 并启用了梯度计算(requires_grad=True)。
  • 定义了一个函数 y = x 2 y = x^2 y=x2
  • 使用 y.backward() 计算导数,这会计算 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy 并将结果存储在 x.grad 中。
2. 计算向量函数的导数

对于向量函数,我们可以计算每个分量对输入的梯度。

import torch# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)# 定义函数
y = x**2# 计算导数,y 是一个向量,因此需要提供梯度的初始值
y.backward(torch.tensor([1.0, 1.0, 1.0]))# 打印导数
print(x.grad)  # 输出: tensor([2.0, 4.0, 6.0])

在这个例子中:

  • y 是一个向量函数 y = [ x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 ] y = [x_1^2, x_2^2, x_3^2] y=[x12,x22,x32]
  • y.backward() 需要一个与 y 形状相同的张量作为参数,表示每个分量的梯度初始值。
  • 结果是 x.grad,它包含了每个分量的导数。

这篇关于导数和微分的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1047750

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