【线性代数】第三章-矩阵的初等变换与线性方程组：以及秩、行阶梯的概念

2024-06-01 01:12
文章标签 第三章 概念 矩阵 阶梯 线性代数 线性方程组 初等变换

本文主要是介绍【线性代数】第三章-矩阵的初等变换与线性方程组：以及秩、行阶梯的概念，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

文章目录

  • 一. 矩阵的初等变换
    • 1. 矩阵的三种初等变换
    • 2. 矩阵等价
    • 3. 初等矩阵
  • 二. 行阶梯矩阵
    • 1. 行阶梯矩阵定义
    • 2. 定理
  • 二. 矩阵的秩
    • 1. k阶子式的概念
    • 2. 秩的定义
    • 3. 秩的性质
  • 三. 线性方程组的解
    • 1. 线性方程组的向量形式
    • 2. 线性方程组解的讨论
    • 3. 定理

一. 矩阵的初等变换

1. 矩阵的三种初等变换

在这里插入图片描述

 

2. 矩阵等价

在这里插入图片描述

矩阵等价性质

在这里插入图片描述

 

3. 初等矩阵

在这里插入图片描述

 

二. 行阶梯矩阵

1. 行阶梯矩阵定义

在这里插入图片描述

标准型
在这里插入图片描述

 

2. 定理

在这里插入图片描述

衍生的一般规律，行变换（左乘矩阵）与列变换（右乘矩阵）后得到的就是等价矩阵。

在这里插入图片描述

 
求逆矩阵的一种方式。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

 

二. 矩阵的秩

1. k阶子式的概念

在这里插入图片描述

 
等价的引理
在这里插入图片描述

 

2. 秩的定义

在这里插入图片描述

最高阶非零子式的阶数：秩。

 

3. 秩的性质

性质描述
1. 转置矩阵与其矩阵的秩相同在这里插入图片描述
2. 可逆矩阵又称满秩矩阵在这里插入图片描述
3. 如果A、B矩阵等价，则秩相同在这里插入图片描述
4. 由定理2，能够引出：经过初等行变换，
变换为行阶梯矩阵能够求出矩阵的秩。		在这里插入图片描述
5. 两个矩阵组成的秩在这里插入图片描述
6. 两个矩阵相乘的秩在这里插入图片描述
7. 矩阵相乘=0在这里插入图片描述
8. 矩阵相乘=0，由矩阵相乘的行列式可以得出来在这里插入图片描述

 

三. 线性方程组的解

1. 线性方程组的向量形式

在这里插入图片描述

 

2. 线性方程组解的讨论

在这里插入图片描述

 

3. 定理

在这里插入图片描述
 

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http://www.chinasem.cn/article/1019567。

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