LU分解是一种重要的数值线性代数技术, 用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题. 在科学工程领域, 经常需要解决形如 A x = b Ax = b Ax=b的线性方程组, 其中 A A A是系数矩阵, x x x是未知向量, b b b是已知向量. LU分解是一种将系数矩阵 A A A分解为一个下三角矩阵 L L L和一个上三角矩阵 U U U的方法, 即 A = L U A = LU A=LU.
LU分解(直接三角分解,Doolittle分解) A x = b , A = L U Ax=b \,\,,\,\, A=LU Ax=b,A=LU { L y = b U x = y \begin{cases} Ly=b \\ Ux=y \end{cases} {Ly=bUx=y 矩阵 L {L} L 的对角元素为 1 {1} 1 ,矩阵 U {U} U 的第一行和 A {A} A
目的: 从矩阵的角度理解高斯消元法, 完成LU分解得到A=LU 1.矩阵乘积的逆矩阵 Inverse of a product 2.矩阵乘积的转置 Transpose of a product 3.转置矩阵的逆矩阵 Inverse of a transpose 4.矩阵的LU分解 U为上三角阵(Upper triangular matrix), L为下三角阵(Lo