LU分解(C++)

2024-01-16 06:44
文章标签 c++ 分解 lu

本文主要是介绍LU分解(C++),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

LU分解是一种重要的数值线性代数技术, 用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题. 在科学工程领域, 经常需要解决形如 A x = b Ax = b Ax=b的线性方程组, 其中 A A A是系数矩阵, x x x是未知向量, b b b是已知向量. LU分解是一种将系数矩阵 A A A分解为一个下三角矩阵 L L L和一个上三角矩阵 U U U的方法, 即 A = L U A = LU A=LU. 这个分解有许多优点, 其中之一是它可以帮助我们更有效地解决多个不同的右端向量 b b b对应的线性方程组, 而无需每次都重新分解 A A A. 此外, LU分解也有助于计算矩阵的逆, 因为一旦我们得到了 A = L U A = LU A=LU的分解, 就可以相对容易地计算出 A A A的逆. 因此, LU分解是许多数值计算和线性代数问题的基础.

LU分解在数值计算中具有广泛的应用, 包括但不限于以下几个方面:

  1. 线性方程组求解 LU分解可用于有效解决多个不同右端向量的线性方程组, 减少了重复分解系数矩阵的计算开销.
  2. 矩阵求逆 一旦得到 A = L U A=LU A=LU的分解, 可以相对容易地计算矩阵 A A A的逆矩阵. 这在各种科学计算和工程应用中非常有用.
  3. 数值稳定性 LU分解可以帮助分析和改善数值算法的稳定性, 以减小舍入误差的影响.
  4. 最小二乘法 LU分解可用于最小二乘拟合等问题, 其中需要求解超定或欠定线性方程组.

本文仅考虑不选主元素的三角分解方法, 即 A A A的顺序主子式都不等于0, 否则需要对矩阵 A A A左乘一个排列矩阵 P P P.

算法描述

LU分解的数学原理基于Gauss消元法. 它的核心思想是将系数矩阵 A A A通过一系列行变换变成一个上三角矩阵 U U U, 同时记录下每次行变换的过程, 以构造下三角矩阵 L L L.

A A A是一个 n × n n \times n n×n的矩阵, LU分解的目标是找到下三角矩阵 L L L和上三角矩阵 U U U, 使得 A = L U A = LU A=LU. 具体步骤包括:

  1. L L L初始化为单位下三角矩阵, 将 U U U初始化为 A A A的副本.
  2. 针对第一列, 使用行变换操作将 U U U的第一列元素变成零, 同时记录行变换操作到 L L L的第一列.
  3. 重复上述步骤, 依次处理第二列, 第三列, 直到处理完最后一列, 得到完整的LU分解.

数学上, 行变换操作是通过矩阵乘法来表示的, 这些操作将 A A A的行变换为 U U U的行, 同时更新 L L L. 最终, 得到的矩阵 U U U就是原矩阵 A A A的上三角部分, 而矩阵 L L L则包含了所有行变换的信息.

实际上, 如果每次都进行消元, 可能导致不稳定的情形出现, 且效率较低. 我们可以直接从LU分解的结论 A = L U A=LU A=LU出发, 利用矩阵乘法的定义, 我们可以得到 n 2 n^2 n2个方程, 通过化简计算, 可得如下快速计算LU分解的算法:

A = ( a i j ) , L = ( l i j ) , U = ( u i j ) A=(a_{ij}),L=(l_{ij}),U=(u_{ij}) A=(aij),L=(lij),U=(uij), 首先由 A A A的第1行第1列可以计算出 U U U的第1行和 L L L的第1列:

u 1 j = a 1 j , j = 1 , 2 , ⋯ , n u_{1j}=a_{1j},j=1,2,\cdots,n u1j=a1j,j=1,2,,n

l k 1 = a k 1 u 11 , k = 2 , 3 , ⋯ , n l_{k1}=\frac{a_{k1}}{u_{11}},k=2,3,\cdots,n lk1=u11ak1,k=2,3,,n

下面假设 U U U 1 1 1 k − 1 k-1 k1行, L L L 1 1 1 k − 1 k-1 k1列均已算出, 则有:

u k j = a k j − ∑ r = 1 k − 1 l k r u r j , j = k , k + 1 , ⋯ , n u_{kj}=a_{kj}-\sum_{r=1}^{k-1}l_{kr}u_{rj},j=k,k+1,\cdots,n ukj=akjr=1k1lkrurj,j=k,k+1,,n

l i k = 1 u k k ( a i k − ∑ r = 1 k − 1 l i r u r k ) , i = k , k + 1 , ⋯ , n l_{ik}=\frac1{u_{kk}}\left(a_{ik}-\sum_{r=1}^{k-1}l_{ir}u_{rk}\right),i=k,k+1,\cdots,n lik=ukk1(aikr=1k1lirurk),i=k,k+1,,n

根据如上递推公式即可算出 L L L U U U的全部元素.

算法实现

#include <armadillo>
using namespace arma;
/** LU分解* L:下三角矩阵* U:上三角矩阵* A:待分解矩阵* e:精度** 返回(bool):*  true : 分解失败*  false: 分解成功*/
bool LU(mat &L, mat &U, const mat &A, const double &e = 1e-6)
{if (A.n_cols == 1){L.ones(1, 1);U.resize(1, 1);if (abs(U.at(0, 0) = A.at(0, 0)) < e)return true;return false;}L.eye(A.n_cols, A.n_cols);U.zeros(A.n_cols, A.n_cols);unsigned n(A.n_cols - 1);for (unsigned i(0); i != n; ++i){U.at(i, i) = A.at(i, i);for (unsigned k(0); k != i; ++k)U.at(i, i) -= L.at(i, k) * U.at(k, i);if (abs(U.at(i, i)) < e)return true;for (unsigned j(i + 1); j != A.n_cols; ++j){L.at(j, i) = A.at(j, i);U.at(i, j) = A.at(i, j);for (unsigned k(0); k != i; ++k){U.at(i, j) -= L.at(i, k) * U.at(k, j);L.at(j, i) -= L.at(j, k) * U.at(k, i);}L.at(j, i) /= U.at(i, i);}}U.at(n, n) = A.at(n, n);for (unsigned i(0); i != n; ++i)U.at(n, n) -= L.at(n, i) * U.at(i, n);if (abs(U.at(n, n)) < e)return true;return false;
}

实际上armadillo库提供了lu函数, 也可以直接使用arma::lu.

实例分析

对以下矩阵进行LU分解:

A = ( 6 2 1 − 1 2 4 1 0 1 1 4 − 1 − 1 0 − 1 3 ) A=\begin{pmatrix} 6&2&1&-1\\2&4&1&0\\1&1&4&-1\\-1&0&-1&3 \end{pmatrix} A= 6211241011411013

代入程序求得

L = ( 1.0000 0 0 0 0.3333 1.0000 0 0 0.1667 0.2000 1.0000 0 − 0.1667 0.1000 − 0.2432 1.0000 ) L=\begin{pmatrix} 1.0000&0&0&0\\ 0.3333&1.0000&0&0\\ 0.1667&0.2000&1.0000&0\\ -0.1667&0.1000&-0.2432&1.0000 \end{pmatrix} L= 1.00000.33330.16670.166701.00000.20000.1000001.00000.24320001.0000

U = ( 6.0000 2.0000 1.0000 − 1.0000 0 3.3333 0.6667 0.3333 0 0 3.7000 − 0.9000 0 0 0 2.5811 ) U=\begin{pmatrix} 6.0000&2.0000&1.0000&-1.0000\\ 0&3.3333&0.6667&0.3333\\ 0&0&3.7000&-0.9000\\ 0&0&0&2.5811 \end{pmatrix} U= 6.00000002.00003.3333001.00000.66673.700001.00000.33330.90002.5811

这篇关于LU分解(C++)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/611637

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