代码随想录day43 | 动态规划P5 | ● 1049. ● 494. ● 474.

494. 目标和 

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

思路

本题求如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有

        left组合 - right组合 = target,

        left + right = sum，

而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

回溯

可以套39. 组合总和的代码, 相应博客代码随想录第二十七天 | 回溯算法P3 |● 39. ● 40.● 131.-CSDN博客

C++代码如下:

class Solution {
private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {if (sum == target) {result.push_back(path);}// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {sum += candidates[i];path.push_back(candidates[i]);backtracking(candidates, target, sum, i + 1);sum -= candidates[i];path.pop_back();}}
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];if (S > sum) return 0; // 此时没有方案if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和// 以下为回溯法代码result.clear();path.clear();sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序backtracking(nums, bagSize, 0, 0);return result.size();}
};

超时, 可以使用记忆化回溯,但不如用动规

动态规划

        如何转化为01背包问题:

假设加法总和为x, 那么对应减法总和为 sum - x; 此时有 x - (sum - x) = target

那么 x = (sum + target) / 2, 此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里注意若  x = (sum + target) / 2 计算需要向下取整, 实际上是无解的

        回归到01背包问题，为什么是01背包呢？

因为每个物品（题目中的1）只用一次！这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

        动态规划五步曲

①dp数组以及下标含义: dp[j] 表示 装满容量为 j 的背包, 有dp[j]种方法

②递推公式: dp[ j ] += dp[ j - nums[ i ]]

        有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

③ 初始化: dp[ 0 ] = 1, 其余=0

从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。 

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

④递推顺序 先物品(nums)后背包(target) 且内层for循环倒序

⑤举例推导

代码

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = Arrays.stream(nums).sum();//如果target的绝对值大于sum，那么无解if (Math.abs(target) > sum) return 0;//如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是无解if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;int left = (sum + target) / 2;int[] dp = new int[left + 1];dp[0] = 1;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = left; j >= nums[i]; j--) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[left];}
}

474.一和零  

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

思路

抽象为01背包问题, 只是物品重量变为二维, 0 的数量 与 1 的数量;

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

五步曲完成代码即可

①dp[ i ][ j ] 表示最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

②递推: dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)  其中zeroNum 与 oneNum为某个物品(stars中的元素) 的 0 的个数和 1 的个数

③初始化 首先dp{0][0]  = 0 ,其余元素 均0:因为物品价值不会是负数 为不影响递推公式的推导,

④遍历顺序 同01背包 滚动数组

⑤举例推导

代码

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];//遍历物品for (String str : strs) {int zeroNum = 0, oneNum = 0;for (char c : str.toCharArray()) {if (c == '0') zeroNum++;else oneNum++;}//遍历背包for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {for (int j = n; j>= oneNum; j--){dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);}}}return dp[m][n];}
}