CDQ分治维护凸包 优化dp 【NOI2007】货币兑换cash bzoj1492

本文主要是介绍CDQ分治维护凸包 优化dp 【NOI2007】货币兑换cash bzoj1492，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目描述：
小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪
念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。每个持有金券的顾客都有
一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券
当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 AK 和
BK （元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP作为卖出比例，其意
义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币；
b) 买入金券：顾客支付IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为
IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK；

例如，假定接下来3天内的Ak 、Bk、Ratek 的变化分别为：

时间 Ak Bk Ratek
第一天 1 1 1
第二天 1 2 2
第三天 2 2 3
假定在第一天时，用户手中有100元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作：
时间 用户操作 人民币(元) A券的数量 B券的数量
开户 无 100 0 0
第一天 买入100元 0 50 50
第二天 卖出50% 75 25 25
第二天 买入60元 15 55 40
第三天 卖出100% 205 0 0

注意到，同一天内可以进行多次操作。
小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。他还希望能够计算出来，如
果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱。

一张图揭示这道题有多么深入人心：

题目分析：
首先可以分析出，想获得最大收益，如果在某一天买入，那么一定花掉所有的钱买入，如果卖出那么一定卖掉所有的金券。
我们设到第i天获得的最大收益为f[i]
设在第i天最多能购买A券x[i]，B券y[i]
则有f[i]=a[i]*x[i]+b[i] *y[i]
并且有x[i]：y[i]=rate[i]
两式联立得:
y[i]=f[i]/(a[i]*rate[i]+b[i])
x[i]=f[i]*rate[i]/(a[i] *rate[i] +b[i])

可以推出转移方程为f[i]=Max{ f[i-1]，a[i]* x[j]+b[i] *y[j] }
对于f[i]=a[i]*x[j] +b[i] *y[j]
可以转化为：
f[i]/b[i]=a[i]/b[i]*x[j]+y[j]
设Y=y[j]
设k=-a[i]/b[i]
设X=x[j]
设P=f[i]/b[j]
可得Y=kX+P
看样子可以斜率优化，但问题是X不是单调的，K也不是单调的。
所以无法O(n)维护凸包。
可以用平衡树维护凸包啊！！！然后在凸包上二分斜率！！！
恩，我写了一个下午，写挂了（=。=果然蒟蒻就是蒟蒻啊）
于是还是用更好想也更好写的CDQ分治吧。
对于区间l到r，先递归处理l到mid的答案，然后暴力求出l到mid的凸包，去更新mid+1到r的答案，再递归处理mid+1到r的答案。
因为mid+1到r的斜率不单调，所以我们可以选择在凸包上二分。
时间复杂度：O(nlog^2n)，也不比平衡树维护凸包差很多嘛！

代码如下：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define N 120000
using namespace std;
inline double Max(double x,double y) { return x>y?x:y; }
struct point{double x,y;point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}point operator - (const point &c) const { return point (x-c.x,y-c.y); }bool operator < (const point &c) const { return x<c.x || x==c.x && y<c.y; }double operator * (const point &c) const { return x*c.y-y*c.x; }
}h[N],p[N];
struct cash{double x,y,a,b;
}day[N];
int n,top;
double m;
double f[N];
void convex_hull(point a[],int l,int r)
{top=0;sort(a+l,a+r+1);for(int i=l;i<=r;i++){while(top>1 && (h[top]-h[top-1])*(a[i]-h[top-1])>=0) top--;h[++top]=a[i];}return;
}
bool judge(int now,double k)
{if(now!=top && h[now+1].y-h[now].y>(h[now+1].x-h[now].x)*k) return false;return true;
}
double divide(double k)
{int l=1,r=top;int ans=top;while(l<=r){int mid=l+r>>1;if(judge(mid,k)) ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}return h[ans].y-h[ans].x*k;
}
void CDQ(int l,int r)
{if(l==r){f[l]=Max(f[l],f[l-1]);return;}int mid=l+r>>1;CDQ(l,mid);for(int i=l;i<=mid;i++) p[i]=point(f[i]*day[i].x,f[i]*day[i].y);convex_hull(p,l,mid);for(int i=mid;i<=r;i++)f[i]=Max(f[i],divide(-day[i].a/day[i].b)*day[i].b);CDQ(mid+1,r);
}
int main()
{scanf("%d%lf",&n,&m);f[0]=m;for(int i=1;i<=n;i++){double a,b,rate;scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&rate);day[i].y=1.0/(rate*a+b); day[i].x=day[i].y*rate;day[i].a=a; day[i].b=b;}CDQ(1,n);double ans=f[n];printf("%.3lf\n",ans);return 0;
}

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