本文主要是介绍求解模线性方程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
原文：https://www.cnblogs.com/ACSeed/archive/2013/01/31/2887248.html
1）求解线性不定方程
ax + by = c
先求出一组解， 然后考虑如何表示通解， 设d = gcd(a, b), 假设c不是d的倍数， 则左边是d的倍数而右边不是， 则方程无解， 所以方程有解当且仅当d | c.
设c = c' * d, 我们先考虑方程 ax + by = d, 这样由扩展gcd便可求出一组解 （x', y'), 则（c'x', c'y')就是原方程的一组解，然后考虑通解：
假设有两组解(x1, y2) , (x2, y2), 有 ax1 + by1 == ax2 + by2 = c, 移项得： a(x1 - x2) == b(y2 - y1), 消去d后有 a'(x1 - x2) == b'(y2 - y1),
此时a' 和 b' 互素， 所以（x1 - x2)一定是b'的倍数， 而(y2 - y1)一定是a'的倍数， 由此可得到通解：
给一组特解(x, y), 通解为(x - kb', y + ka').
2）求解模线性方程
ax = b(mod n)
其实方程等价于 ax - ny = b, 标准模线性方程，但是得考虑剩余系。
算法导论上有两个定理：
定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny'， 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足：、
x0 = x'(b / d)(mod n）
定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1
有了这两个定理， 解方程就不难了。
1 void linear_mod_equation (int a, int b, int n, int *sol)2 {3 int d, x, y;4 gcd (a, n, d, x, y );5 if (b % d) d = 0;6 else7 {8 sol [0] = x * ( b / d ) % n ;9 for (int i = 1; i < d; ++i)
10 sol[i] = (sol[i - 1] + n / d) % n ;
11 }
12 }
如果gcd(a, n) == 1, 则方程有唯一解， 即解为a的逆。
1 ll inv(ll a, ll n)
2 {
3 ll d, x, y;
4 gcd(a, n, d, x, y);
5 return d == 1 ? (x % n + n) % n : -1;
6 }
这篇关于求解模线性方程的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
