简述最小二乘法基本概念和拟合方法,给出高次函数的拟合公式,配有有matlab仿真程序

本文主要是介绍简述最小二乘法基本概念和拟合方法,给出高次函数的拟合公式,配有有matlab仿真程序,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

最小二乘法是一种常用的曲线拟合算法,尤其对于存在白噪声的数据的拟合尤其有用。本文首先简析最小二乘法的作用,然后再推到高次(以3次为例)多项式的拟合公式,并用MATLAB仿真展示具体的应用示例。

一、最小二乘法的用途

最小二乘法是一种常用的曲线拟合算法,尤其对于存在白噪声的数据的拟合尤其有用。有效估计就是具有最小方差的估计,最小二乘法是一种对于物理量参数的有效估计,这种方法综合考虑所有点的偏差,所评估的参数使得对于所有的测量点方差最小。

二、高次多项式的拟合公式推导

假设需要使用最小二乘法对一个3次函数进行拟合,该函数的真值表达式如下:

y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

在实际应用中,x作为输入,在测量输出y时,往往会引入白噪声V_{x},这样实际在测量数据时表达式变为:

y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d+V_{x}

现在给定一组输入值X_{i}=[{x_{1},x_{2},x_{3},..,x_{n}}],会得到含有白噪声的一组测量值Y_{i}=[y_{1},y_{2},y_{3},...],由输入值X_{i}和测量值Y_{i},使用最小二乘法对a,b,c,d四个参数进行估计。

根据最小二乘法的定义,使得

J=\sum_{i=1}^{N}[y_{i}-(ax_{i}^{3}+bx_{i}^{2}+cx_{i}+d))]^{2}为最小。

为此,需要分别对a,b,c,d四个参数求偏导数,并令其为0,即可得到一个线性方程组,如下:

\frac{\partial J}{\partial a}|_{a=\hat{a}}=-2\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\hat{a}x_{i}^{3}-\hat{b}x_{i}^{2}-\hat{c}x_{i}-\hat{d})x_{i}^{3}=0

\frac{\partial J}{\partial b}|_{b=\hat{b}}=-2\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\hat{a}x_{i}^{3}-\hat{b}x_{i}^{2}-\hat{c}x_{i}-\hat{d})x_{i}^{2}=0

\frac{\partial J}{\partial c}|_{c=\hat{c}}=-2\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\hat{a}x_{i}^{3}-\hat{b}x_{i}^{2}-\hat{c}x_{i}-\hat{d})x_{i}=0

\frac{\partial J}{\partial d}|_{d=\hat{d}}=-2\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-\hat{a}x_{i}^{3}-\hat{b}x_{i}^{2}-\hat{c}x_{i}-\hat{d})=0

对以上四个线性方程整理可得:

\hat{a}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{6}+\hat{b}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5}+\hat{c}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4}+\hat{d}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{3}

\hat{a}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5}+\hat{b}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4}+\hat{c}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}+\hat{d}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{2}

\hat{a}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4}+\hat{b}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}+\hat{c}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+\hat{d}\sum_{i=1}^{N}x_{i}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}

\hat{a}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}+\hat{b}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+\hat{c}\sum_{i=1}^{N}x+\hat{d}N=\sum_{i=1}^{N}y_{i}

写成矩阵的形式可得:

\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{6} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2} & \sum_{i=1}^{N}x_{i} & N \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \hat{a}\\ \hat{b}\\ \hat{c}\\ \hat{d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{3}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{2}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i} \end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{6} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{5} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{4} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}\\ \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{3} & \sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2} & \sum_{i=1}^{N}x_{i} & N \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} \hat{a}\\ \hat{b}\\ \hat{c}\\ \hat{d} \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{3}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}^{2}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i}x_{i}\\ \sum_{i=1}^{N}y_{i} \end{bmatrix}

可简化写成,A*B=C,于是可得估计参数如下:

B=A^{-1}*C

三、Matlab代码仿真

根据上面推导的公式,对一个3次函数进行参数辨识,以证明该公式的有效性。

需要辨识的三次函数如下:

y=0.5x^3+1.2x^2+2x+5

辨识时对该三次函数加入10*[-0.5,0.5]范围的白噪声。matlab代码实现如下:

clc
clear
close all
X_6_sum=0;X_5_sum=0;X_4_sum=0;X_3_sum=0;X_2_sum=0;X_1_sum=0;
RX_3_sum=0;RX_2_sum=0;RX_1_sum=0;
R_sum=0;N=0;
X=-10:0.01:10;
Y=X;
for count=1:length(X)Y(count)=0.5*X(count)^3+1.2*X(count)^2+2*X(count)+5+10*(rand()-0.5);X_6_sum=X_6_sum+X(count)^6;X_5_sum=X_5_sum+X(count)^5;X_4_sum=X_4_sum+X(count)^4;X_3_sum=X_3_sum+X(count)^3;X_2_sum=X_2_sum+X(count)^2;X_1_sum=X_1_sum+X(count);N=length(X);RX_3_sum=RX_3_sum+Y(count)*X(count)^3;RX_2_sum=RX_2_sum+Y(count)*X(count)^2;RX_1_sum=RX_1_sum+Y(count)*X(count);R_sum=R_sum+Y(count);   
end
plot(X,Y,'b.','MarkerSize',10);
A=[X_6_sum,X_5_sum,X_4_sum,X_3_sum;X_5_sum,X_4_sum,X_3_sum,X_2_sum;X_4_sum,X_3_sum,X_2_sum,X_1_sum;X_3_sum,X_2_sum,X_1_sum,N];
C=[RX_3_sum;RX_2_sum;RX_1_sum;R_sum];
B=inv(A)*C
B1=polyfit(X,Y,3)
Y1=B(1).*X.^3+B(2).*X.^2+B(3).*X+B(4);
hold on
plot(X,Y1,'r','MarkerSize',10);

仿真结果如下:

 其中B为采用上述公式得到的拟合结果,B1为采用matlab自带的函数进行的拟合得到的结果,两者对比可证明结果是一致的,并且和设定的真实参数相差很小,从而证明该公式的正确性。

这篇关于简述最小二乘法基本概念和拟合方法,给出高次函数的拟合公式,配有有matlab仿真程序的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/838813

相关文章

postgresql使用UUID函数的方法

《postgresql使用UUID函数的方法》本文给大家介绍postgresql使用UUID函数的方法,本文给大家介绍的非常详细,对大家的学习或工作具有一定的参考借鉴价值,需要的朋友参考下吧... 目录PostgreSQL有两种生成uuid的方法。可以先通过sql查看是否已安装扩展函数,和可以安装的扩展函数

MySQL字符串常用函数详解

《MySQL字符串常用函数详解》本文给大家介绍MySQL字符串常用函数,本文结合实例代码给大家介绍的非常详细,对大家学习或工作具有一定的参考借鉴价值,需要的朋友参考下吧... 目录mysql字符串常用函数一、获取二、大小写转换三、拼接四、截取五、比较、反转、替换六、去空白、填充MySQL字符串常用函数一、

Java中Arrays类和Collections类常用方法示例详解

《Java中Arrays类和Collections类常用方法示例详解》本文总结了Java中Arrays和Collections类的常用方法,涵盖数组填充、排序、搜索、复制、列表转换等操作,帮助开发者高... 目录Arrays.fill()相关用法Arrays.toString()Arrays.sort()A

Nginx安全防护的多种方法

《Nginx安全防护的多种方法》在生产环境中,需要隐藏Nginx的版本号,以避免泄漏Nginx的版本,使攻击者不能针对特定版本进行攻击,下面就来介绍一下Nginx安全防护的方法,感兴趣的可以了解一下... 目录核心安全配置1.编译安装 Nginx2.隐藏版本号3.限制危险请求方法4.请求限制(CC攻击防御)

python生成随机唯一id的几种实现方法

《python生成随机唯一id的几种实现方法》在Python中生成随机唯一ID有多种方法,根据不同的需求场景可以选择最适合的方案,文中通过示例代码介绍的非常详细,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习... 目录方法 1:使用 UUID 模块(推荐)方法 2:使用 Secrets 模块(安全敏感场景)方法

MyBatis-Plus通用中等、大量数据分批查询和处理方法

《MyBatis-Plus通用中等、大量数据分批查询和处理方法》文章介绍MyBatis-Plus分页查询处理,通过函数式接口与Lambda表达式实现通用逻辑,方法抽象但功能强大,建议扩展分批处理及流式... 目录函数式接口获取分页数据接口数据处理接口通用逻辑工具类使用方法简单查询自定义查询方法总结函数式接口

C++中assign函数的使用

《C++中assign函数的使用》在C++标准模板库中,std::list等容器都提供了assign成员函数,它比操作符更灵活,支持多种初始化方式,下面就来介绍一下assign的用法,具有一定的参考价... 目录​1.assign的基本功能​​语法​2. 具体用法示例​​​(1) 填充n个相同值​​(2)

MySql基本查询之表的增删查改+聚合函数案例详解

《MySql基本查询之表的增删查改+聚合函数案例详解》本文详解SQL的CURD操作INSERT用于数据插入(单行/多行及冲突处理),SELECT实现数据检索(列选择、条件过滤、排序分页),UPDATE... 目录一、Create1.1 单行数据 + 全列插入1.2 多行数据 + 指定列插入1.3 插入否则更

MySQL深分页进行性能优化的常见方法

《MySQL深分页进行性能优化的常见方法》在Web应用中,分页查询是数据库操作中的常见需求,然而,在面对大型数据集时,深分页(deeppagination)却成为了性能优化的一个挑战,在本文中,我们将... 目录引言:深分页,真的只是“翻页慢”那么简单吗?一、背景介绍二、深分页的性能问题三、业务场景分析四、

JAVA中安装多个JDK的方法

《JAVA中安装多个JDK的方法》文章介绍了在Windows系统上安装多个JDK版本的方法,包括下载、安装路径修改、环境变量配置(JAVA_HOME和Path),并说明如何通过调整JAVA_HOME在... 首先去oracle官网下载好两个版本不同的jdk(需要登录Oracle账号,没有可以免费注册)下载完