本文主要是介绍二元正态分布的概率密度函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
二元正态分布随机变量
如果随机变量 X X X、 Y Y Y的联合PDF为
p X , Y ( x , y ) = 1 2 π σ x σ Y 1 − p 2 exp { − ( x − μ X ) 2 σ X 2 + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y 2 ( 1 − ρ 2 ) } p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}}{2(1-\rho^2)}\right\} pX,Y(x,y)=2πσxσY1−p21exp⎩⎨⎧−2(1−ρ2)σX2(x−μX)2+σY2(y−μY)2−σXσY2ρ(x−μX)(y−μY)⎭⎬⎫
则称 X X X、 Y Y Y满足二元正态分布,其中 X ∼ N ( μ X , σ X 2 ) ， Y ∼ N ( μ Y , σ Y 2 ) X \sim N(\mu_X,\sigma_X^2)，Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2) X∼N(μX,σX2)，Y∼N(μY,σY2)，协方差 C X Y = E { X Y } − μ X μ Y C_{XY}={\rm E}\{XY\}-\mu_X\mu_Y CXY=E{XY}−μXμY，相关系数 ρ = C X Y σ X σ Y \rho=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y} ρ=σXσYCXY。
进一步进行归一化处理，设
V = X − μ x σ X , W = Y − μ Y σ Y V=\frac{X-\mu_x}{\sigma_X},\ W=\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y} V=σXX−μx, W=σYY−μY
则有
p V , W ( v , w ) = 1 2 π 1 − ρ 2 exp { − v 2 − 2 ρ v w + w 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } . p_{V,W}(v,w)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}}\exp \{-\frac{v^2-2\rho v w+w^2}{2(1-\rho^2)}\}. pV,W(v,w)=2π1−ρ21exp{−2(1−ρ2)v2−2ρvw+w2}.
下面来求 V , W V,W V,W的条件PSD。由于
v 2 + w 2 − 2 ρ v w = ( w − ρ v ) 2 + v 2 ( 1 − ρ 2 ) v^2+w^2-2\rho vw=(w-\rho v)^2+v^2(1-\rho^2) v2+w2−2ρvw=(w−ρv)2+v2(1−ρ2)
因此
p V , W ( v , w ) = 1 2 π exp { − v 2 2 } 1 2 π ( 1 − p 2 ) exp { − ( w − ρ v ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } p_{V,W}(v,w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi(1-p^2)}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\} pV,W(v,w)=2π1exp{−2v2}2π(1−p2)1exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}
进一步，我们有
p V ( v ) = 1 2 π exp { − v 2 2 } p_V(v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\} pV(v)=2π1exp{−2v2}
故
p W ∣ V ( w ∣ v ) = 1 2 π ( 1 − ρ 2 ) exp { − ( w − ρ v ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } . p_{W|V}(w|v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}. pW∣V(w∣v)=2π(1−ρ2)1exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}.
所以
E [ W ∣ V ] = ρ v , σ W ∣ V 2 = 1 − ρ 2 . {\rm E}[W|V]=\rho v,\sigma_{W|V}^2=1-\rho^2. E[W∣V]=ρv,σW∣V2=1−ρ2.
我们再来看X、Y的条件PSD，因为
p X , Y ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − p 2 exp { − ( x − μ X ) 2 σ X 2 + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y 2 ( 1 − ρ 2 ) } = 1 2 π σ X σ Y 1 − p 2 exp { − v 2 + w 2 − 2 ρ v w 2 ( 1 − ρ 2 ) } = 1 2 π σ X σ Y 1 − p 2 exp { − v 2 2 } exp { − ( w − ρ v ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } = 1 2 π σ X exp { − v 2 2 } 1 2 π σ Y 1 − p 2 exp { − ( w − ρ v ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } = 1 σ x p X ( x ) 1 σ y p Y ∣ X ( y ∣ x ) p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{v^2+w^2-2\rho vw}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_X }\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{\sigma_x}p_X(x)\frac{1}{\sigma_y}p_{Y|X}(y|x) pX,Y(x,y)=2πσXσY1−p21exp⎩⎨⎧−2(1−ρ2)σX2(x−μX)2+σY2(y−μY)2−σXσY2ρ(x−μX)(y−μY)⎭⎬⎫=2πσXσY1−p21exp{−2(1−ρ2)v2+w2−2ρvw}=2πσXσY1−p21exp{−2v2}exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}=2πσX1exp{−2v2}2πσY1−p21exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}=σx1pX(x)σy1pY∣X(y∣x)
故有
p Y ∣ X ( y ∣ x ) = σ Y ⋅ p W ∣ X ( w ∣ x ) . p_{Y|X}(y|x)=\sigma_Y\cdot p_{W|X}(w|x). pY∣X(y∣x)=σY⋅pW∣X(w∣x).
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