如何推导MMSE检测公式？

本文主要是介绍如何推导MMSE检测公式？，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

【转】如何推导MMSE检测公式？

这两天用到MMSE检测，对于它的推导，我前期只是在“知其然”，今天就来“知其所以然”，来证明一下MMSE检测公式。

MMSE检测用来求解什么？

首先，要知道信道的基本模型：
$$\text{y}=\text{H}\text{x}+\text{n}$$
$\text{H}$是信道矩阵，$\text{x}$是发送信号向量，$\text{n}$是噪声向量。
目标是用MMSE（最小化均方误差）的方法，求得使得$\hat{\text{x}}$最为准确的$\text{W}$：
$$\hat{\text{x}}=\text{W}\text{y}$$

证明

令估计信号误差为：
$$\text{e}=\hat{\text{x}}-\text{x}$$
则有MSE（均方误差）为：
$${\text{e}}_{MSE}=E||\hat{\text{x}}-\text{x}|{|}^2$$
$${\text{W}}_{MMSE}=\arg \underset{\text{W}}{\max }E||\text{W}\text{y}-\text{x}|{|}^2$$

作出如下重写：
e M S E = E ∣ ∣ x ^ − x ∣ ∣ 2 = E { t r [ ( Wy − x ) ( Wy − x ) H ] } \textbf{e}_{MSE}=E||\hat\textbf{x}-\textbf{x}||^2=E\{tr[(\textbf{W}\textbf{y}-\textbf{x})(\textbf{W}\textbf{y}-\textbf{x})^H]\} eMSE​=E∣∣x^−x∣∣2=E{tr[(Wy−x)(Wy−x)H]}
e M S E = E { t r ( Wy y H W H − Wy x H − x y H W H + x x H ) } \textbf{e}_{MSE}=E\{tr(\textbf{W}\textbf{y}\textbf{y}^H\textbf{W}^H-\textbf{W}\textbf{y}\textbf{x}^H-\textbf{x}\textbf{y}^H\textbf{W}^H+\textbf{x}\textbf{x}^H)\} eMSE​=E{tr(WyyHWH−WyxH−xyHWH+xxH)}
$${\text{e}}_{MSE}=tr(\text{W}{\text{R}}_y{\text{H}}^H-\text{W}\text{H}{\text{R}}_x-{\text{R}}_x{\text{H}}^H{\text{W}}^H+{\text{R}}_x)$$
我们现在令${\text{e}}_{MSE}$对$\text{W}$的偏导为$\text{0}$，也即：
$${\text{W}}^{\ast }{\text{R}}_y^T-(\text{H}{\text{R}}_x{)}^T=\text{0}$$
同时取复共轭：
$$\text{W}{\text{R}}_y^H=(\text{H}{\text{R}}_x{)}^H$$
$\text{R}$均为Hermitian矩阵，所以矩阵本身等于它的复共轭矩阵：
$$\text{W}{\text{R}}_y={\text{R}}_x{\text{H}}^H$$
得到：
$$\text{W}={\text{R}}_x{\text{H}}^H{\text{R}}_y^{-1}$$
又因为：
$${\text{R}}_y=E[\text{y}{\text{y}}^H]=\text{H}{\text{R}}_x{\text{H}}^H+{\text{R}}_n$$和
$$\begin{gathered} {\text{R}}_x=E[\text{x}{\text{x}}^H]=\text{I} \\ {\text{R}}_n=E[\text{n}{\text{n}}^H]={\sigma }^2\text{I} \end{gathered}$$
那么有：
$$\text{W}={\text{H}}^H(\text{H}{\text{H}}^H+{\sigma }^2\text{I}{)}^{-1}$$

这篇关于如何推导MMSE检测公式？的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---