自然数幂级数之和

本文主要是介绍自然数幂级数之和，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

观察

可以看到下面的结果：

$$\begin{array}{rl} \sum\limits_{k=1}^nk&=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum\limits_{k=1}^nk^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum\limits_{k=1}^nk^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ \sum\limits_{k=1}^nk^4&=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\\ \sum\limits_{k=1}^nk^5&=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}\\ \sum\limits_{k=1}^nk^6&=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}\\ \sum\limits_{k=1}^nk^7&=\frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2\right)\\ \sum\limits_{k=1}^nk^8&=\frac{1}{90} n (n+1) (2 n+1) \left(5 n^6+15 n^5+5 n^4-15 n^3-n^2+9 n-3\right)\\ \sum\limits_{k=1}^nk^9&=\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right)\\ \sum\limits_{k=1}^nk^{10}&=\frac{1}{66} n (n+1) (2 n+1) \left(n^2+n-1\right) \left(3 n^6+9 n^5+2 n^4-11 n^3+3 n^2+10 n-5\right)\\ \sum\limits_{k=1}^nk^{11}&=\frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(2 n^8+8 n^7+4 n^6-16 n^5-5 n^4+26 n^3-3 n^2-20 n+10\right)\\ \sum\limits_{k=1}^nk^{12}&=\frac{n (n+1) (2 n+1) \left(105 n^{10}+525 n^9+525 n^8-1050 n^7-1190 n^6+2310 n^5+1420 n^4-3285 n^3-287 n^2+2073 n-691\right)}{2730}\\ \\ \end{array}$$

等等。

奥数出这样的题怎么办？如果给了公式，数学归纳法总能证明。如果不给公式，直接求怎么办？

临时能算出来的，只有高斯大神：$p=1,n=100$

上述公式速记的办法

上面 的和式， 如果记：

$$S(n,p)=\sum\limits_{k=1}^nk^{\,p}$$

1980年，有人Schultz指出，它们都可以表示成 $n$的 $p+1$ 次多项式，所以，只须找一个算法确定多项式每一项的系数就可以了。——这个算法是解$n\times n$的线性方程组，看上去非常简单。

先说$p+1$次齐次多项式（不带常数项）的形式：

$$S(n,p)=\sum\limits_{k=1}^nk^{\,p}=c_{p+1}n^{p+1}+c_pn^p+c_{p-1}n^{p-1}+\cdots+c_2n^2+c_1n$$

这些系数$c_1,c_2,\cdots,c_p,c_{p+1}$满足如下线性方程（组）：

$$\sum\limits_{i=j+1}^{p+1}(-1)^{i-j+1}\binom{i}{j}c_i=\delta_{j,p}$$
其中 $\displaystyle \binom{i}{j}$是组合数， $i$中取$j$个之取法； $\displaystyle\delta_{j,p}$ 是克罗内克记号， $j=p$取1，否则为0。

取$j=0,1,2,\cdots,p$从而可以列出$p+1$个线性方程，解出$p+1$个系数$c_1,c_2,\cdots,c_{p-1},c_{p+1}$。

参考文献

http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

这篇关于自然数幂级数之和的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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