本文主要是介绍代码随想录算法训练营Day41|343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
目录
343. 整数拆分
前言
思路
算法实现
96.不同的二叉搜索树
前言
思路
算法实现
总结
343. 整数拆分
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文章链接
前言
本题要使得整数拆分后的乘积最大,使用动态规划求解难在递推公式的推导。
思路
利用动态规划五部曲来进行实现:
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i]:拆分数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。
2.确定递推公式:
思考dp[i]最大乘积是如何得到的?一种是j * (i - j)直接相乘,另一种是j * dp[i - j],相当于是拆分i - j,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
所以递推公式dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
因为在取最大值时,取得的最大值还要与当前的dp[i]值比较大小,才能确定较大值。
3.dp数组初始化:
严格意义上来说,dp[0]、dp[1]就不应该初始化,因为0和1不能拆分,没有实际意义。从dp[2] = 1开始初始化。
4.确定遍历顺序:
有递推公式可知,dp[i]是依靠dp[i - j]和i - j得到的,所以遍历顺序一定是从前向后遍历,现有dp[i - j]再有dp[i]。
5.举例推导dp数组
自己给n赋个值代入即可。
算法实现
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= i / 2; j++){dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));}}return dp[n];}
};
96.不同的二叉搜索树
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前言
本题使用动态规划求解时依然难在递推公式的求解,可以先举几个例子,画画图,从中查找规律。
思路
n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。当n为3时,当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,这两个节点的布局和n为2时是一样的;当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,此时这两个节点的布局和n为2时也是一样的;当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局和n为1时是一样的。
发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量,所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]。
此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i]:1到i节点组成的二叉搜索树的个数dp[i]。
2.确认递推公式:
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量],j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3.dp数组如何初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化dp[0] = 1。
4.确认遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。
5.举例推导dp数组
略
算法实现
class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};
总结
今天的动态规划题难在递推公式的推导,当递推公式较难想时,可以通过举例的方式观察规律。
这篇关于代码随想录算法训练营Day41|343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!